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模拟退火算法（Simulate Anneal Arithmetic，SAA）

什么是模拟退火算法编辑本段 回目录

　　模拟退火算法（Simulate Anneal Arithmetic，SAA）是一种通用概率演算法，用来在一个大的搜寻空间内找寻命题的最优解。模拟退火是S.Kirkpatrick, C.D.Gelatt和M.P.Vecchi在1983年所发明。而V.?erny在1985年也独立发明此演算法。模拟退火算法是解决TSP问题的有效方法之一。

　　模拟退火来自冶金学的专有名词退火。退火是将材料加热后再经特定速率冷却，目的是增大晶粒的体积，并且减少晶格中的缺陷。材料中的原子原来会停留在使内能有局部最小值的位置，加热使能量变大，原子会离开原来位置，而随机在其他位置中移动。退火冷却时速度较慢，使得原子有较多可能可以找到内能比原先更低的位置。

　　模拟退火的原理也和金属退火的原理近似：将热力学的理论套用到统计学上，将搜寻空间内每一点想像成空气内的分子；分子的能量，就是它本身的动能；而搜寻空间内的每一点，也像空气分子一样带有“能量”，以表示该点对命题的合适程度。演算法先以搜寻空间内一个任意点作起始：每一步先选择一个“邻居”，然后再计算从现有位置到达“邻居”的概率。

模拟退火算法的模型[1]编辑本段 回目录

　　模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。

模拟退火的基本思想:
- (1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数L
- (2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：
- (3) 产生新解S′
- (4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数
- (5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.
- (6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
- (7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。

　　算法对应动态演示图：

模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：
- 第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
- 第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。
- 第三步是判断新解是否被接受，判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropolis准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
- 第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

　　模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。

模拟退火算法的简单应用[1]编辑本段 回目录

　　作为模拟退火算法应用，讨论货郎担问题(Travelling Salesman Problem，简记为TSP)：设有n个城市，用数码(1,…,n)代表。城市i和城市j之间的距离为d(i，j) i, j=1,…,n．TSP问题是要找遍访每个域市恰好一次的一条回路，且其路径总长度为最短.。

　　求解TSP的模拟退火算法模型可描述如下：

　　解空间:解空间S是遍访每个城市恰好一次的所有回路，是{1,……,n}的所有循环排列的集合，S中的成员记为 $(w_1,w_2,\cdots,w_n)$ ，并记 $w n + 1 = w 1$ 。初始解可选为(1，……，n)

　　目标函数:此时的目标函数即为访问所有城市的路径总长度或称为代价函数: $f(w_1,w_2,,w_n)=\sum_{j=1}^{n}(w_j,w_{j+1})$

　　我们要求此代价函数的最小值。

　　新解的产生随机产生1和n之间的两相异数k和m，若k<m，则将

　　 $(w_1,w_2,\cdots,w_k,w_{k+1},\cdots,w_m,\cdots,w_n)$

　　变为：

　　 $(w_1,w_2,\cdots,w_m,w_{m-1},\cdots,w_{k+1},w_k,\cdots,w_n)$

　　如果是k>m，则将

　　 $(w_1,w_2,\cdots,w_k,w_{k+1},\cdots,w_m,\cdots,w_n)$

　　变为：

　　 $(w_m,w_{m-1},\cdots,w_1,w_{m+1},\cdots,w_{k-1},w_n,w_{n-1},\cdots,w_k)$

　　上述变换方法可简单说成是“逆转中间或者逆转两端”。

　　也可以采用其他的变换方法，有些变换有独特的优越性，有时也将它们交替使用，得到一种更好方法。

　　代价函数差:设将 $(w_1,w_2,\cdots,w_n)$ 变换为 $(u_1,u_2,\cdots,u_n)$ , 则代价函数差为:

　　 $\triangle f=f(u_1,u_2,\cdots,u_n)-f(w_1,w_2,\cdots,w_n)=\sum_{j=1}^{n}d(u_j,u_{j+1})-\sum_{j=1}^{n}d(w_j,w_{j+1})$

模拟退火算法求解TSP问题的伪程序[1]编辑本段 回目录

　　根据上述分析，可写出用模拟退火算法求解TSP问题的伪程序：

Procedure TSPSA:
　begin
　　init-of-T; { T为初始温度}
　　S={1，……，n}; {S为初始值}
　　termination=false;
　　while termination=false
　　　begin
　　　　for i=1 to L do
　　　　　　begin
　　　　　　　　generate(S′form S); { 从当前回路S产生新回路S′}
　　　　　　　　Δt:=f(S′))-f(S);{f(S)为路径总长}
　　　　　　　　IF(Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])
　　　　　　　　S=S′;
　　　　　　　　IF the-halt-condition-is-TRUE THEN
　　　　　　　　termination=true;
　　　　　　End;
　　　　T_lower;
　　　End;
　End

　　模拟退火算法的应用很广泛，可以较高的效率求解最大截问题(Max Cut Problem)、0-1背包问题(Zero One Knapsack Problem)、图着色问题(Graph Colouring Problem)、调度问题(Scheduling Problem)等等。