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肯德尔和谐系数(the kandall coefficient of concordace)

肯德尔和谐系数的概念编辑本段 回目录

　　肯德尔和谐系数是计算多个等级变量相关程度的一种相关量。前述的spearman等级相关讨论的是两个等级变量的相关程度，用于评价时只适用于两个评分者评价N个人或N件作品，或同一个人先后两次评价N个人或N件作品，而kandall和谐系数则适用于数据资料是多列相关的等级资料，即可是k个评分者评(N)个对象，也可以是同一个人先后k次评N个对象。通过求得kandall和谐系数，可以较为客观地选择好的作品或好的评分者。

肯德尔和谐系数的公式与计算编辑本段 回目录

　　以下用W表示肯德尔和谐系数

　　(1)同一评价者无相同等级评定时，W的计算公式：

　　 $W=\frac{S}{\frac{1}{12}K^2(N^3-N)}$ 　　　　(1)

　　式中：N—被评的对象数； K—评分者人数或评分所依据的标准数；

　　S—每个被评对象所评等级之和 $R i$ 与所有这些和的平均数 $\overline{R_i}$ 的离差平方和，即

　　 $S=\sum_{i=1}^n (R_i-\overline{R_i})^2=\sum_{i=1}^n R_i^2-\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^n R_i)^2$

　　当评分者意见完全一致时，S取得最大值 $\frac{1}{2}K^2(N^3-N)$ 可见，和谐系数是实际求得的S与其最大可能取值的比值，故0≤W≤1。

　　(2)同一评价者有相同等级评定时，W的计算公式：

　　 $W=\frac{S}{\frac{1}{12}[K^2(N^3-N)-K\sum_{i=1}^K T_i]}$ 　　　　(2)

　　式中K、N、S的意义同(1)式， $T_i=\sum_{i=1}^m(n_{ij}^3-n_ij)^2$

　　这里 $m i$ 为第i个评价者的评定结果中有重复等级的个数， $n i j$ 为第i个评价者的评定结果中第j个重复等级的相同等级数。

　　对于评定结果无相同等级的评价者， $T i = 0$ ，因此只须对评定结果有相同等级的评价者计算 $T i$ 。

　　【例1】某校开展学生小论文比赛，请6位教师对入选的6篇论文评定得奖等级，结果如下表所示，试计算6位教师评定结果的kandall和谐系数。

论文编号评等评分老师	一	二	三	四	五	六
A	3	1	2	5	4	6
B	2	1	3	4	5	6
C	3	2	1	5	4	6
D	4	1	2	6	3	5
E	3	1	2	6	4	5
F	4	2	1	5	3	6
$R i$	19	8	11	31	23	34	$\sum K=126$
$R_i^2$	361	64	121	961	529	1156	$R_i^2=3192$

　　解：由于每个评分老师对6篇论文的评定都无相同的等级，故用公式(1.3-2)，由表中数据得：

　　 $S=\sum_{i=1}^6 R_i^2-\frac{1}{6}(\sum_{i=1}^6 R_i)^2=3192-\frac{1}{6}\times126^2=546$

　　 $W=\frac{S}{\frac{1}{12}K^2(N^3-N)}=\frac{546}{\frac{1}{12}6^2(6^3-6)}=\frac{546}{630}=0.87$

　　(由W=0.87表明6位老师的评定结果有较大的一致性)

　　【例2】 3名专家对6篇心理学论文的评分经等级转换如下表所示，试计算专家评定结果的肯德尔和谐系数

论文等级专家	A	B	C	D	E	F
甲	1	4	2.5	5	6	2.5
乙	2	3	1	5	6	4
丙	1.5	3	1.5	4	5.5	5.5
$R i$	4.5	10	5	14	17.5	12	63
$R_i^2$	20.25	100	25	196	306.25	144	791.5

　　解：由于专家甲、丙对6篇论文有相同等级的评定，故用公式(1.3-3)计算W：

　　甲 $T = 2 3 - 2 = 6$

　　丙 $T = (2 3 - 2) + (2 3 - 2) = 12$

　　 $S=\sum_{1}^6 R_i^2-\frac{1}{2}(\sum_{1}^6 R_i)^2=791.5-\frac{1}{6}\times63=130.00$

　　 $W=\frac{S}{\frac{1}{12}[K^2(N^3-N)-K\sum T_i]}=\frac{130}{\frac{1}{12}[3^2(6^3-6)-3\times(6+12)]}=\frac{130}{153}=0.849673203=0.85$

　　由W=0.85可看出专家评定结果有较大的一致性。

肯德尔和谐系数的显著性检验编辑本段 回目录

　　1、当评分者人数(k)在3-20之间，被评者(N)在3-7之间时，可查《肯德尔和谐系数(W)显著性临界值表》，检验W是否达到显著性水平。若实际计算的S值大于k、N相同的表内临界值，则W达到显著水平。

　　例如例3中，K=6 N=6，查表得检验水平分别为 $α = 0.01$ ， $α = 0.05$ 的临界值各为 $S 0.01 = 282.4$ ， $S 0.05 = 221.4$ ，均小于实算的S=546，故W达到显著水平，认为6位教师对6篇论文的评定相当一致。

　　2、当被评者n＞7时，则可用如下的 $x 2$ 统计量对W是否达到显著水平作检验。

　　设 $H 0$ ：评价者意见不一致

　　则： $x^2=k(N-1)W^{H_0}-x^2(N-1)$ 　　　　(3)

　　对给定的水平 $α$ ，由 $P(X^2>X_{1-\alpha}^2)=\alpha$ ,查df=N-1的 $X 2$ 分布表得临界值为分位数

　　 $X_{1-\alpha}^2$ ，将计算出的kandall系数W等代入(3)式计算 $X 2$ 值

　　若 $X^2>X_{1-\alpha}^2(N-1)$ 则拒绝 $H 0$ ，认为评分者的意见显著一致。

　　若 $X^2 \le X_{1-\alpha}^2(N-1)$ 则 $H 0$ 认为评分者的评判显著不一致。

　　例如，在一次教学评价中，10位评价者对12项指示进行评价，已计算出W=0.65，需检验评价者的意见是否有显著的一致性( $α = 0.01$ )。

　　将k=10 N=12 W=0.65代入(3)计算得

　　 $X^2=10(12-1)\times0.65=71.5$

　　查表得 $X_{0.99}^2(11)=24.73<X^2=71.5$

　　故认为10位评价者对12个指标的评价具有显著的一致性。

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标签: 肯德尔和谐系数 Spearman等级相关平均数心理学显著性检验统计量

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更新时间: 2009-08-31

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