相关系数 发表评论(0) 编辑词条

相关系数(Correlation coefficient)
　　

　　相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度。

　　著名统计学家卡尔·皮尔逊设计了统计指标——相关系数。相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数。

　　依据相关现象之间的不同特征，其统计指标的名称有所不同。如将反映两变量间线性相关关系的统计指标称为相关系数（相关系数的平方称为判定系数）；将反映两变量间曲线相关关系的统计指标称为非线性相关系数、非线性判定系数；将反映多元线性相关关系的统计指标称为复相关系数、复判定系数等。

　　相关系数用r表示，它的基本公式为：

相关系数

　　相关系数的值介于–1与+1之间，即–1≤r≤+1。其性质如下：
　　当r>0时，表示两变量正相关，r<0时，两变量为负相关。
　　当|r|=1时，表示两变量为完全线性相关，即为函数关系。
　　当r=0时，表示两变量间无线性相关关系。
　　当0<|r|<1时，表示两变量存在一定程度的线性相关。且|r|越接近1，两变量间线性关系越密切；|r|越接近于0，表示两变量的线性相关越弱。
　　一般可按三级划分：|r|<0.4为低度线性相关；0.4≤|r|<0.7为显著性相关；0.7≤|r|<1为高度线性相关。
　　例:某财务软件公司在全国有许多代理商，为研究它的财务软件产品的广告投入与销售额的关系，统计人员随机选择10家代理商进行观察，搜集到年广告投入费和月平均销售额的数据，并编制成相关表，见表1:
　　表1　　广告费与月平均销售额相关表　　单位：万元

年广告费投入月均销售额

参照表1，可计算相关系数如表2：

　　相关系数为0.9942，说明广告投入费与月平均销售额之间有高度的线性正相关关系。

　　按照变量的不同测量层次对各种相关系数简单介绍：

　　1、 定类变量——定类变量 用于测量两个定类变量的相关系数，主要有Lambda 与Tau-y两种。

　　（1）Lambda（λ）系数分为：对称形式——用于测量两个变量间的关系是对等的，即无自变量与因变量之分。非对称形式——测量两个变量间的关系有自变量与因变量之分。
　　（2） Tau-y系数：用于测量变量间非对称关系的。

　　2、 定序变量——定序变量 如果测量两个定序尺度变量间的关系，可用Gamma系数、dyx系数和斯皮尔曼等级相关系数。
　　（1） Gamma（G）系数：分析两个变量间的对等关系，即无自变量与因变量之分。
　　（2） dyx系数：等级相关系数，两个变量间的关系是非对称的。
　　（3） 斯皮尔曼(Spearman)等级相关系数(ρ)：考虑单个个案在两个变量上的等级差异，测量两变量间对等相关关系。

　　3、 定距变量——定距变量
　　测量两个定距变量相关系数的最常用指标是皮尔森（Pearson）相关系数（γ）。（要求N≥50而且两个变量的分布应近似于正态分布。）

　　4、 定类变量——定距变量 两个变量中，自变量为定类变量，因变量为定距变量时，采用相关比率来测量两者间相关程度。（又称eta平方系数E）

　　5、 定类变量——定序变量
　　对一个定类变量例如性别，与一个定序变量例如收入水平关系的分析：第一，用theta系数（θ），专门测量定类变量与定序变量间关系有无和强度，非对称关系。第二，采用λ系数和Tau-y系数，即将定序变量作为定类变量处理。

　　6、 定序变量——定距变量 处理一个定序变量例如教育水平，与一个定距变量如年均收入之间的关系，采用二种办法：
　　第一， 将定序变量看作定类变量，采用相关比例测量法。
　　第二， 将定序变量看作定距变量，采用γ相关系数。

小结：在分析两个变量关系时，选择哪种相关系数，主要考虑两个方面：
　　1、 变量的测量层次；
　　2、 变量关系的类别，即是对等的还是非对称的。

　　需要指出的是，相关系数有一个明显的缺点，即它接近于1的程度与数据组数n相关，这容易给人一种假象。因为，当n较小时，相关系数的波动较大，对有些样本相关系数的绝对值易接近于1；当n较大时，相关系数的绝对值容易偏小。特别是当n=2时，相关系数的绝对值总为1。因此在样本容量n较小时，我们仅凭相关系数较大就判定变量x与y之间有密切的线性关系是不妥当的。

　　例如，就我国深沪两股市资产负债率与每股收益之间的相关关系做研究。发现1999年资产负债率前40名的上市公司，二者的相关系数为r=–0.6139；资产负债率后20名的上市公司，二者的相关系数r=0.1072；而对于沪、深全部上市公司（基金除外）结果却是，r沪=–0.5509，r深=–0.4361，根据三级划分方法，两变量为显著性相关。这也说明仅凭r的计算值大小判断相关程度有一定的缺陷。