欧拉定理发表评论(0) 编辑词条

欧拉定理（Euler Theorem），也称费马-欧拉定理或欧拉 ${\varphi}$ 函数定理

什么是欧拉定理编辑本段 回目录

　　欧拉定理指出：如果产品市场和要素市场都是完全竞争的，而且厂商生产的规模报酬不变，那么在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。该定理又叫做边际生产力分配理论，还被称为产品分配净尽定理。如上所述，要素的价格是由于要素的市场供给和市场需求共同决定。在完全竞争的条件下，厂商和消费者都被动地接受市场形成的价格。现在的问题是：要素所有者按照市场形成的要素价格获得收入，全部要素收入是否等于社会总产品？

　　在完全竞争的条件下，厂商使用要素的原则是：要素的边际产品价值等于要素价格。即：

　　 $P \cdot M P_l=W$ （9.9）

　　 $P \cdot M P_k=r$ （9.10）

　　由式9.9和9.10可得：

　　 $M P_l={W\over P}$ （9.11）

　　 $M P_k={r\over P}$ （9.12）

　　P为产品的价格，W/P和r/P分别表示了劳动和资本的实际报酬。因此在完全竞争的条件下，单位劳动、单位资本的实际报酬分别等于劳动、资本的边际产量。假定整个社会的劳动总量和资本总量为L和K，而社会总产品为Q，那么就有：

　　 $Q=L \cdot M P_l+K \cdot M P_k$ （9.13）

　　式9.13称为欧拉分配定理。它是由于该定理的证明使用了数学上的欧拉定理而得名。

欧拉定理的证明编辑本段 回目录

　　假设生产函数为：Q=f(L.K)

　　由于规模报酬不变，所以生产函数为齐次方程，因此有：

　　 ${Q \over L}=f({L \over L},{K \over L})=f(1,k)=\varphi(k)$ 　　　　 $(k={K\over L})$

　　k为人均资本，Q/L为人均产量，人均产量是人均资本k的函数。

　　 ${\partial Q \over \partial L} = {{\partial [ L \cdot \varphi (k) ] } \over \partial L} = \varphi (k) + L \cdot {{d \varphi (k) } \over dk} \cdot {dk \over dL} = \varphi (k) + L \cdot \varphi ^\prime (k) \cdot {dk \over dL} = \varphi (k) + L \cdot \varphi ^\prime (k) \cdot \left( {{-K } \over {L^2} } \right) = \varphi (k) - k \cdot \varphi ^\prime (k)$

　　 ${\partial Q \over \partial K} = {{\partial [ L \cdot \varphi (k) ] } \over \partial K} = L \cdot {{\partial \varphi (k)} \over \partial k } = L \cdot {{d \varphi (k) } \over dk} \cdot {{\partial k} \over {\partial K}} = L \cdot \varphi ^\prime (k) \cdot {1 \over L } = \varphi ^\prime (k)$

　　由上面两式，即可证明欧拉定理：

　　 $L \cdot {\partial Q \over {\partial L}} + K \cdot {{\partial Q } \over {\partial K}} = L \cdot [\varphi (k) - k \varphi ^\prime (k)] + K \cdot \varphi ^\prime (k) = L \cdot \varphi (k) - K \cdot \varphi ^\prime (k) + K \cdot \varphi ^\prime (k) = L \cdot \varphi (k) = Q$