幂级数 发表评论(0) 编辑词条

幂级数　　函数项级数的概念
　　定义1 函数列 ，
　　则称为函数项级数。
　　定义2取 ，则成为常数项级数，
　　若收敛，则称为的收敛点；
　　若发散，则称为的发散点。
　　定义3 函数项级数的收敛点的集合称为其收敛域，记为D。
　　定义4 对于任意一点，有收敛，因而有一个确定的和，该和是关于 的函数，称为 和函数，记为S（x）。
　　定义5 若用 表示 的前n项的和，
　　则在收敛域上有记称为的余项，且在收敛域上有 。
[编辑本段]幂级数
　　1．幂级数的有关概念
　　定义6 具有下列形式的函数项级数
　　（1）称为幂级数。
　　特别地，在中令即上述形式化为
　　（2）称为 的幂级数。
　　取为常数项级数，如收敛，其和为
　　取为常数项级数，如收敛，其和为
　　取为和函数项级数，总收敛，其和为
　　对幂级数主要讨论两个问题：
　　（1）幂级数的收敛域 （2）将函数表示成幂级数。
　　幂级数的收敛域具有特别的结构
　　定理1：（i）如 在 收敛，则对于满足 的一切 ， 都绝对收敛；
　　（ii）如 在 发散，则对于满足 的一切 ， 发散。
　　证：（1）∵ 收敛
　　∴ （收敛数列必有界）
　　而 为几何级数，当 即收
　　∴ 收 ∴ 原级数绝对收敛
　　（2）反证：如存在一点 使 收
　　则由（1） 收，矛盾。
　　由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间，因此存在非负数R，使 收敛； 发散，称R为收敛半径，（-R，R）为收敛区间。
　　2．幂级数的收敛域及其求法
　　定理2：如幂级数 系数满足 ，
　　则（1收敛区间为（-R，R）；
　　（2）收敛区间为（－∞，＋∞）；
　　（3）幂级数 仅在一点x=0处收敛。
　　注意：当时， 的敛散性不能确定，要讨论 的敛散性，从而求得收敛域。
　　例1：求下列幂级数的收敛域。
　　（1） （2） （3）
　　解：（1） ， 故 ，
　　当 时， 原级数为 为交错级数，满足
　　¬ ， ∴ 收敛；
　　当 时， 原级数为 发散，
　　∴ 收敛域为
　　解（2）由于 ∴ 故收敛域为 。
　　解（3）
　　令 ∴ 。
　　当 时，
　　原级数为
　　∴ 发散；
　　同理 时， 级数也发散 ，
　　∴收敛域
　　三、 幂级数的性质
　　定理3
　　定理
　　求幂级数的和函数：利用逐项求导，逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式，即化到公式：