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幂级数 发表评论(0) 编辑词条

幂级数  函数项级数的概念
  定义1 函数列 ,
  则称为函数项级数。
  定义2取 ,则成为常数项级数,
  若收敛,则称为的收敛点;
  若发散,则称为的发散点。
  定义3 函数项级数的收敛点的集合称为其收敛域,记为D。
  定义4 对于任意一点,有收敛,因而有一个确定的和,该和是关于 的函数,称为 和函数,记为S(x)。
  定义5 若用 表示 的前n项的和,
  则在收敛域上有记称为的余项,且在收敛域上有 。
[编辑本段]幂级数
  1.幂级数的有关概念
  定义6 具有下列形式的函数项级数
  (1)称为幂级数。
  特别地,在中令即上述形式化为
  (2)称为 的幂级数。
  取为常数项级数,如收敛,其和为
  取为常数项级数,如收敛,其和为
  取为和函数项级数,总收敛,其和为
  对幂级数主要讨论两个问题:
  (1)幂级数的收敛域 (2)将函数表示成幂级数。
  幂级数的收敛域具有特别的结构
  定理1:(i)如 在 收敛,则对于满足 的一切 , 都绝对收敛;
  (ii)如 在 发散,则对于满足 的一切 , 发散。
  证:(1)∵ 收敛
  ∴ (收敛数列必有界)
  而 为几何级数,当 即收
  ∴ 收 ∴ 原级数绝对收敛
  (2)反证:如存在一点 使 收
  则由(1) 收,矛盾。
  由证明可知幂级数的收敛域为数轴上的对称区间,因此存在非负数R,使 收敛; 发散,称R为收敛半径,(-R,R)为收敛区间。
  2.幂级数的收敛域及其求法
  定理2:如幂级数 系数满足 ,
  则(1收敛区间为(-R,R);
  (2)收敛区间为(-∞,+∞);
  (3)幂级数 仅在一点x=0处收敛。
  注意:当时, 的敛散性不能确定,要讨论 的敛散性,从而求得收敛域。
  例1:求下列幂级数的收敛域。
  (1) (2) (3)
  解:(1) , 故 ,
  当 时, 原级数为 为交错级数,满足
  ¬ , ∴ 收敛;
  当 时, 原级数为 发散,
  ∴ 收敛域为
  解(2)由于 ∴ 故收敛域为 。
  解(3)
  令 ∴ 。
  当 时,
  原级数为
  ∴ 发散;
  同理 时, 级数也发散 ,
  ∴收敛域
  三、 幂级数的性质
  定理3
  定理
  求幂级数的和函数:利用逐项求导,逐次积分及四则运算等于将其化为可求和的形式,即化到公式:
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