无穷级数 发表评论(0) 编辑词条

　　无穷级数是研究有次序的可数无穷个数或者函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。只有无穷级数收敛时有一个和；发散的无穷级数没有和。算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和，有些数列可以用无穷级数方法求和。 包括数项级数、函数项级数（又包括幂级数、Fourier级数；复变函数中的泰勒级数、Laurent(洛朗)级数）。

　　如假定有一个无穷数列：
　　u1,u2,u3,...un,...
　　其前n项的和为：
　　sn = u1 + u2 + u3 + ... + un
　　由此得出另一个无穷数列：
　　s1,s2,s3,...sn,...
　　它是由上一个无穷数列持续相加造成的。
　　例如，如果u是任意的：
　　u1=1，u2=3，u3=5，...un ...
　　但s不会是任意的，它是和任意数列有逐级加和关系的：
　　s1=1，s2=4，s3=9，...sn，...
　　当n无限增加时，sn趋向一个极限
　　如果极限存在，这个无穷数列就叫做是收敛的无穷级数，如果极限不存在，这个数列就是发散的。只有收敛的无穷级数存在一个和s。
　　s = u1 + u2 + u3 + ... + un + ...

　　I. 若有一个无穷级数： u1 + u2 + u3 + ... + un + ... 如果每一项乘以一个常数a，则和等于as。 as = au1 + au2 + au3 + ... + aun + ...
　　II. 收敛级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数：
　　s = u1 + u2 + u3 + ... + un + ...和 t = v1 + v2 + v3 + ... + vn + ...则
　　III. 级数前面加上有限项或减去有限项不影响其收敛性，如： s = u1 + u2 + u3 + ... + u9和 s = u15 + u16 + u17 + ... + u50 这两个级数的收敛性是一样的。

　　c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞) c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
　　它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.

　　(幂级数展开法)
　　f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...
　　实用幂级数：
　　e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...
　　ln(1+x)= x-x^2/3+x^3/3-...(-1)^(k-1)*x^k/k+... (|x|<1)
　　sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞　　cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-...(-1)k*x^(2k)/(2k)!+... (-∞　　arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... (|x|<1)
　　arccos x = π - ( x + 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 + ... ) (|x|<1)
　　arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1)
　　sinh x = x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞　　cosh x = 1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+... (-∞　　arcsinh x = x - 1/2*x3/3 + 1*3/(2*4)*x5/5 - ... (|x|<1)
　　arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1)

　　(傅立叶级数、三角级数)
　　f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)
　　a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx
　　an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx
　　bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx
　　

　　复变函数内解析函数的洛朗展开
　　∞ ∞ ∞
　　∑Cn(z-a)^n = ∑Cn(z-a)^n + ∑C-n(z-a)^-n
　　-∞ n=0 n=1
　　泰勒级数是洛朗级数的特殊形式