中值定理 发表评论(0) 编辑词条

中值定理是微积分学中的基本定理，由四部分组成。

　　内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同（严格的数学表达参见下文）。中值定理又称为微分学基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改变量定理[1]等。
　　内容
　　如果函数f(x)满足
　　在闭区间[a,b]上连续；
　　在开区间(a,b)内可导，
　　那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ　　f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)
　　成立。

　　内容
　　如果函数f(x)满足
　　在闭区间[a,b]上连续；
　　在开区间(a,b)内可导；
　　在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
　　那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξf^\prime(\xi)=0。
　　补充
　　如果函数f(x)满足：
　　在闭区间[a,b]上连续；
　　在开区间(a,b)内可导；
　　在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
　　那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ　　几何上，罗尔定理的条件表示，曲线弧 （方程为 ）是一条连续的曲线弧
　　，除端点外处处有不垂直于 轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明，
　　弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的.：

　　如果函数f(x)及F(x)满足
　　(1)在闭区间[a,b]上连续；
　　(2)在开区间(a,b)内可导；
　　(3)对任一x(a,b)，F'(x)!=0
　　那么在(a,b) 内至少有一点ξ，使等式
　　[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ξ)/F'(ξ)
　　成立

　　f(x)在a到b上的积分等于(a-b)*f'(c),其中c满足a　　积分中值定理: 若f(x) 在[a, b]上连续, 则在（a, b）上至少存在一个点ε, 满足
　　b
　　∫f(x)dx=f(ε)(b-a)
　　a
　　例1 证明
　　证明:
　　评注: 按原来的中值定理, 只能得到“³ 0”; 按改进后的中值定理, 因为 , 所以得到“> 0”.
　　例2 假设 上连续且严格单减, 试证对任何 有
　　证明:
　　=
　　因为 , 所以才得到“> 0”的不等式.
　　例3 假设 为[0, 1]上的连续、非负、严格单减函数, 且 , 证明
　　证明:
　　(由于使用改进后的中值定理, 所以才得到上面严格不等号的不等式)
　　由以上二个不等式, 可以得到
　　二边乘以 , 得
　　因为 , 由于 为[0, 1]上的连续、非负,
　　所以
　　.
　　顺便指出, 陈文灯先生的“数学复习指南”中, 关于单调性的定理也需要改进.
　　原书中的关于单调性的定理:
　　定理 假设[a, b]区间内可导, 如果f'(x)>0（f'(x)<0） , 则函数f(x)在[a, b] 区间内单调增加(或单调减少).
　　应改成:
　　定理 假设在[a, b]上的连续函数在[a, b]区间内可导, 如果f'(x)>=0（f'(x)<=0）, 则函数f(x)在[a, b] 区间内单调增加(或单调减少).(同济版“高等数学”第五版上册p144)