均方差 发表评论(0) 编辑词条

均方差

　　均方差也叫标准差,方差开根号为均方差,工程中其量纲与变量一致,应用较广.
　　样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。
　　数学上一般用D=E{[X-E(X)]^2}来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度，称为X的方差,D开根号为均方差.
　　定义
　　设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差，记为D(X)或DX。即D(X)=E{[X-E(X)]^2}，而σ(X)=D(X)^0.5（与X有相同的量纲）称为标准差或均方差。
　　由方差的定义可以得到以下常用计算公式：
　　D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
　　方差的几个重要性质（设一下各个方差均存在）。
　　（1）设c是常数，则D(c)=0。
　　（2）设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=c^2D(X)。
　　（3）设X，Y是两个相互独立的随机变量，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。
　　（4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即P{X=c}=1，其中E(X)=c。
　　在统计学中，均方差是对于无法观察的参数 θ 的一个估计函数T;其定义为:
　　即，它是"误差"的平方的期望值.误差就是估计值与被估计量的差. 均方差满足等式
　　其中
　　也就是说，偏差是估计函数的期望值与那个无法观察的参数的差。
　　下边是一个具体例子.假设
　　即是一组来自正态分布的样本.　常用的两个对σ 估计函数为:
　　和　其中
　　为样本均值.
　　第一个估计函数为最大似然估计，它是有偏的,即偏差不为零,但是它的方差比第二个小. 而第二个估计函数是无偏的. 较小的方差某种程度上补偿了偏差,因此第二个估计函数的均方差比第一个要小.
　　另外,这两个估计函数的均方差都比下边这个有偏估计函数小
　　这个估计函数使得形如(其中c是常数)的均方差最小