对称矩阵 发表评论(0) 编辑词条

　　元素以对角线为对称轴对应相等的矩阵。

　　把一个m×n矩阵的行,列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A'即
　　【矩阵转置的运算律】(即性质):
　　1.(A')'=A
　　2.(A+B)'=A'+B'
　　3.(kA)'=kA'(k为实数)
　　4.(AB)'=B'A'
　　若矩阵A满足条件A=A',则称A为对称矩阵，由定义知对称矩阵一定是方阵,而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等.即aij=aji,对任意i,j都成立。

　　1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。
　　2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。
　　3.对角矩都是对称矩阵。
　　两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
　　用<,>表示Rn上的内积。的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有，。
　　任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域（例如实数），可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：X=1/2(X+XT)+1/2(X?XT)
　　每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。
　　若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。
　　一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零。
　　如果X是对称矩阵,那幺AXAT也是对称矩阵.
　　n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。
　　所谓对称变换，即对任意α、 β∈V，都有（σ（α），β）=（α，σ（β））。投影变换和镜像变换都是对称变换。

　　1．对称矩阵
　　（1）对称矩阵
　　在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质：
　　aij=aji0≤i，j≤n-1
　　则称A为对称矩阵。
　　（2）对称矩阵的压缩存
　　对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。
　　①按"行优先顺序"存储主对角线(包括对角线)以下的元素
　　即按a00,a10,a11,……，an-1,0,an-1,1…，an-1,n-1次序存放在一个向量sa[0．．n(n+1)／2-1]中（下三角矩阵中，元素总数为n(n+1)／2）。
　　其中：
　　sa[0]=a00,
　　sa[1]=a10,
　　……，
　　sa[n(n+1)／2-1]=an-1,n-1
　　②元素aij的存放位置
　　aij元素前有i行(从第0行到第i-1行)，一共有：
　　1+2+…+i=i×(i+1)／2个元素；
　　在第i行上，aij之前恰有j个元素(即ai0，ail，…，ai,j-1)，因此有：
　　sa[i×(i+1)／2+j]=aij
　　③aij和sa[k]之间的对应关系：
　　若i≥j，k=i×(i+1)／2+j0≤k　　若i＜j，k=j×(j+1)／2+i0≤k　　令I=max(i，j)，J=min(i，j)，则k和i，j的对应关系可统一为：
　　k=i×(i+1)／2+j0≤k　　（3）对称矩阵的地址计算公式
　　LOC(aij)=LOC(sa[k])
　　=LOC(sa[0])+k×d=LOC(sa[0])+[I×(I+1)／2+J]×d
　　通过下标变换公式，能立即找到矩阵元素aij在其压缩存储表示sa中的对应位置k。因此是随机存取结构。
　　【例】a21和a12均存储在sa[4]中，这是因为
　　k=I×(I+1)／2+J=2×(2+1)／2+1=4

　　1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。