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伯努利不等式 发表评论(0) 编辑词条

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伯努利不等式

基本概念编辑本段回目录


  数学中的伯努利不等式是说:对任意整数,和任意实数,
  ;如果是偶数,则不等式对任意实数x成立。
  可以看到在n = 0,1,或x = 0时等号成立,而对任意正整数和任意实数,,有严格不等式:
  。伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。

证明 编辑本段回目录

  设x>-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)^n≥1+nx.
  证明:
  用数学归纳法:
  当n=1,上个式子成立,
  设对n-1,有:
  (1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立,
  则
  (1+x)^n
  =(1+x)^(n-1)(1+x)
  >=[1+(n-1)x](1+x)
  =1+(n-1)x+x+(n-1)x^2
  >=1+nx
  就是对一切的自然数,当
  x>=-1,有
  (1+x)^n>=1+nx
  下面把伯努利不等式推广到实数幂形式:
  若r ≤0或r ≥ 1,有(1+x)^r ≥ 1 + rx
  若0 ≤ r ≤ 1,有(1+x)^r ≤ 1 + rx
  这个不等式可以直接通过微分进行证明,方法如下:
  如果r=0,1,则结论是显然的
  如果r≠0,1,作辅助函数f(x)=(1+x)^r-(1+rx), 那么f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r, 则f'(x)=0 <==> x=0;
  下面分情况讨论:
  1. 0 < r < 1,则对于x > 0,f'(x) < 0;对于 − 1 < x < 0,f'(x) > 0。因此f(x)在x = 0处取最大值0,故得(1+x)^r ≤ 1+rx。
  2. r < 0或r > 1,则对于x > 0,f'(x) > 0;对于 − 1 < x < 0,f'(x) < 0。因此f(x)在x = 0处取最小值0,故得(1+x)^r ≥ 1+rx
  证毕
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