伯努利不等式 发表评论(0) 编辑词条

伯努利不等式

　　数学中的伯努利不等式是说：对任意整数，和任意实数，
　　；如果是偶数，则不等式对任意实数x成立。
　　可以看到在n = 0,1，或x = 0时等号成立，而对任意正整数和任意实数，，有严格不等式：
　　。伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。

　　设x＞-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)^n≥1+nx.
　　证明:
　　用数学归纳法:
　　当n=1,上个式子成立,
　　设对n-1,有:
　　(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立,
　　则
　　(1+x)^n
　　=(1+x)^(n-1)(1+x)
　　>=[1+(n-1)x](1+x)
　　=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2
　　>=1+nx
　　就是对一切的自然数,当
　　x>=-1,有
　　(1+x)^n>=1+nx
　　下面把伯努利不等式推广到实数幂形式：
　　若r ≤0或r ≥ 1，有(1+x)^r ≥ 1 + rx
　　若0 ≤ r ≤ 1，有(1+x)^r ≤ 1 + rx
　　这个不等式可以直接通过微分进行证明，方法如下：
　　如果r=0，1，则结论是显然的
　　如果r≠0，1，作辅助函数f(x)=(1+x)^r-(1+rx), 那么f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r, 则f'(x)=0 <==> x=0;
　　下面分情况讨论：
　　1. 0 < r < 1，则对于x > 0，f'(x) < 0；对于 − 1 < x < 0，f'(x) > 0。因此f(x)在x = 0处取最大值0，故得(1+x)^r ≤ 1+rx。
　　2. r < 0或r > 1，则对于x > 0，f'(x) > 0；对于 − 1 < x < 0，f'(x) < 0。因此f(x)在x = 0处取最小值0，故得(1+x)^r ≥ 1+rx
　　证毕