双曲线 发表评论(0) 编辑词条

双曲线目录

　　数学上指一动点移动于一个平面上，与平面上两个定点F1,F2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F1和F2之间的距离即2a<2c）时所成的轨迹叫做双曲线(Hyperbola)。两个定点F1,F2叫做双曲线的左，右焦点(focus)。两焦点的距离叫焦距，长度为2c。c^2=a^2+b^2 (a=半长轴，b=半短轴）

　　1.文字语言定义:
　　平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
　　2.集合语言定义:
　　设 双曲线上有一动点M,定点F,点M到定直线距离为d,
　　这时称集合{M| |MF|/d=e,e>1}表示的点集是双曲线.
　　注意:定点F要在定直线外 且 比值大于1.
　　3.标准方程
　　设 动点M(x,y),定点F(c,0),点M到定直线l:x=a^2/c的距离为d,
　　则由 |MF|/d=e>1.
　　推导出的双曲线的标准方程为
　　(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1
　　其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.
　　这是中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程.
　　而中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程为:
　　(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.

　　1、轨迹上一点的取值范围：x≥a,x≤-a（焦点在x轴上）或者y≥a,y≤-a（焦点在y轴上）。
　　2、对称性：关于坐标轴和原点对称。
　　3、顶点：A(-a,0)， A＇(a,0)。同时 AA＇叫做双曲线的实轴且∣AA＇│=2a.
　　B(0,-b)， B＇(0,b)。同时 BB＇叫做双曲线的虚轴且│BB＇│=2b.
　　4、渐近线：
　　焦点在x轴：y=±(b/a)x.
　　焦点在y轴：y=±(a/b)x.圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。
　　令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos（1/e）
　　令θ=0，得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e
　　令θ=PI，得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e
　　这两个x是双曲线定点的横坐标。
　　求出他们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）
　　x=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
　　（注意化简一下）
　　直线ρcosθ=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
　　是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。
　　将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’
　　则θ’=θ-【PI/2-arccos（1/e）】
　　则θ=θ’+【PI/2-arccos（1/e）】
　　带入上式：
　　ρcos{θ’+【PI/2-arccos（1/e）】}=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
　　即：ρsin【arccos（1/e）-θ’】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
　　现在可以用θ取代式中的θ’了
　　得到方程：ρsin【arccos（1/e）-θ】=【（ep/1-e）+（-ep/1+e）】/2
　　5、离心率：
　　第一定义： e=c/a 且e∈（1，+∞).
　　第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线(相应准线)的距离d 的比等于双曲线的离心率e.
　　6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离）
　　右焦半径：r=│ex-a│
　　左焦半径：r=│ex+a│
　　7、等轴双曲线
　　一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2
　　8、共轭双曲线
　　双曲线S＇的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S＇的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S＇与双曲线S为共轭双曲线。
　　几何表达：S：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S＇：(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1
　　特点：（1）共渐近线
　　（2）焦距相等
　　（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1
　　9、准线： 焦点在x轴上：x=±a^2/c
　　焦点在y轴上：y=±a^2/c
　　10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）
　　d=2b^2/a
　　11、过焦点的弦长公式：
　　d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 或 2p/sin^2θ [p为焦点到准线距离，θ为弦与X轴夹角]
　　12、弦长公式：
　　d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2 推导如下：
　　由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2)
　　得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k
　　分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2)² + (y1 - y2)² ]
　　稍加整理即得：
　　|AB| = |x1 - x2|√(1 + k²) 或 |AB| = |y1 - y2|√(1 + 1/k²)

　　X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0)
　　而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0)
　　但是反比例函数确实是双曲线函数经过旋转得到的
　　因为xy = c的对称轴是 y=x, y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴，y轴
　　所以应该旋转45度
　　设旋转的角度为 a （a≠0,顺时针）
　　(a为双曲线渐进线的倾斜角)
　　则有
　　X = xcosa + ysina
　　Y = - xsina + ycosa
　　取 a = π/4
　　则
　　X^2 - Y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2
　　= (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2
　　= 4 (√2/2 x) (√2/2 y)
　　= 2xy.
　　而xy=c
　　所以
　　X^2/(2c) - Y^2/(2c) = 1 (c>0)
　　Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0)
　　由此证得，反比例函数其实就是双曲线函数