幂指函数 发表评论(0) 编辑词条

幂指函数

　　最简单的幂指函数将形如y=[f(x)]^g(x)的函数称为幂指函数。也就是说，它既像幂函数，又像指数函数，二者的特点兼而有之。作为幂函数，其幂指数确定不变，而幂底数为自变量；相反地，指数函数却是底数确定不变，而指数为自变量。幂指函数就是幂底数和幂指数同时都为自变量的函数。
　　最简单的幂指函数就是y=x^x。说简单，其实并不简单，因为当你真正深入研究这种函数时，就会发现，在x<0时，函数图象存在“黑洞”——无数个间断点，如右图所示(用虚线表示)。其实这种现象与幂函数有着内在的联系，也就是说，幂函数也存在x<0时非整指数幂x^(n/2m)的漏洞，这一问题有待专家学者们认真研究后，统一思想，妥善解决。
　　在x>0时，函数曲线是连续的，并且在x=1/e处取得极小值e^-(1/e)≈0.6922，在区间(0，1/e]上单调递减，而在区间[1/e，+∞)上单调递增，并过(1，1)点。
　　在x<0时，函数曲线是间断的，且有无数个间断点，同时，函数曲线以x轴准(近似)对称，函数图象夹于二平行直线y=-e^(1/e)≈-1.4447和y=e^(1/e)≈1.4447之间，并在x→-∞时，双尾收敛于y=0。
　　此外，从函数y=x^x的图象可以清楚看出，0^0是不存在的。这就是为什么在初等代数中明文规定“任意非零实数的零次幂都等于1，零的任意非零非负次幂都等于零”的真正原因。
　　下面给出一般幂指函数的求导方法（详见下图）。