线性代数 发表评论(0) 编辑词条

线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。线性代数的理论已被泛化为算子理论。由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

　　由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡 矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点．1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。
　　“代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今。

　　线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。
　　主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）。
　　①线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；
　　②在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分；。
　　③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；
　　④ 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。

　　线性linear，指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数；非线性non-linear则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。
　　线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。 在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。
　　现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效。由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如 (中国, 美国, 英国, 法国, 德国, 西班牙, 印度, 澳大利亚)，可以使用向量 (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) 显示这些国家某一年各自的 GNP。这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上。
　　作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有： 不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。 线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在 向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。
　　向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。
　　我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。 在实践中与非线性问题的差异是很重要的。
　　线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。

　　·每一个线性空间都有一个基。
　　·对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵。
　　·一个矩阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。
　　·一个矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
　　·一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。
　　·一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

　　线性代数是一个成功的理论，其方法已经被应用于数学的其他分支。
　　·模论就是将线性代数中的标量的域用环替代进行研究。
　　·多线性代数将映射的“多变量”问题线性化为每个不同变量的问题，从而产生了张量的概念。
　　·在算子的光谱理论中，通过使用数学分析，可以控制无限维矩阵。
　　所有这些领域都有非常大的技术难点。

　　一、课程的性质与任务
　　线性代数课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它广泛应用于科学技术的各个领域。尤其是计算机日益发展和普及的今天，使线性代数成为工科学生所必备的基础理论知识和重要的数学工具。线性代数是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得：
　　１、行列式
　　２、矩阵
　　３、向量组的相关性、矩阵的秩
　　４、线性方程组
　　５、相似矩阵与二次型
　　等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
　　在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析和解决问题的能力。
　　二、课程的教学内容、基本要求及学时分配
　　（一）教学内容
　　１、行列式
　　（１） n 阶行列式的定义
　　（２）行列式的性质
　　（３）行列式的计算，按行（列）展开
　　（４）解线性方程组的克莱姆法则
　　２、矩阵
　　（１）矩阵的概念、单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵
　　（２）矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其规律
　　（３）逆矩阵概念及其性质，用伴随矩阵求逆矩阵
　　（４）分块矩阵的运算
　　３、向量
　　（１）n 维向量的概念
　　（２）向量组的线性相关、线性无关定义及其有关定理，线性相关性的判别
　　（３）向量组的最大无关组、向量组的秩
　　（４）矩阵的秩的概念
　　（５）矩阵的初等变换，用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵
　　（６）n 维向量空间及子空间、基底、维数、向量的坐标
　　４、线性方程组
　　（１）齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件
　　（２）线性方程组的基础解系、通解及解的结构
　　（３）非齐次线性方程组有解的条件及其判定，方程组的解法
　　（４）用初等行变换求线性方程组的通解
　　５、相似矩阵与二次型
　　（１）矩阵的特征值与特征向量及其求法
　　（２）相似矩阵及其性质
　　（３）矩阵对角化的充要条件及其方法
　　（４）实对称矩阵的相似对角矩阵
　　（５）二次型及其矩阵表示
　　（６）线性无关的向量组正交规范化的方法
　　（７）正交变换与正交矩阵的概念及性质
　　（８）用正交变换化二次型为标准形
　　（９）用配方法化二次型为平方和，二次型的规范形
　　（１０）惯性定理、二次型的秩、二次型的正定性及其判别
　　（二）基本要求
　　１、理解 n 阶行列式的定义，会用定义计算简单的行列式
　　２、熟练掌握行列式的基本计算方法和性质
　　３、熟练掌握克莱姆法则
　　４、理解矩阵的定义
　　５、熟练掌握矩阵的运算方法和求逆矩阵的方法
　　６、理解向量相关性的概念，会用定义判定向量的相关性
　　７、掌握求矩阵秩的方法，理解矩阵秩与向量组的相关性之间的关系
　　８、理解向量空间的概念，会求向量的坐标
　　９、熟练掌握用初等变换求矩阵秩、逆矩阵，解线性方程组
　　１０、熟练掌握线性方程组的求解方法，知道线性方程组的简单应用
　　１１、熟练掌握矩阵特征值、特征向量的求法
　　１２、掌握相似矩阵的概念，矩阵对角化的概念
　　１３、熟练掌握用正交变换化二次型为标准型的方法
　　１４、理解二次型的惯性定理，会用配方法求二次型的平方和
　　１５、掌握二次型正定性概念及应用
　　MATLAB
　　本身是一种编程语言，可作为工科线性代数的教学软件，为国内外许多大学教材所引进。
　　书本推荐
　　作者：杨芝馨
　　出版社：高等教育出版社
　　装帧：平装 
　　ISBN：9787040069877
　　类别：教育/科技
　　标价：￥9.60  
　　简介：
　　本书第三版仍由同济大学数学教研室骆承钦教授承担修订工作。这次修订，在第1章增加了二阶与三阶行列式；第2章增加了少量关于矩阵及其运算的实际背景的内容；第3、4两章的理论体系作了彻底更换。新的第3章先引进矩阵的初等变换和秩的概念，然后解决了线性方程组的求解问题。新的第4章讨论向量组的线性相关性，由于有了矩阵和线性方程组的理论，致使这一讨论大为简化。第5、6两章也不同程度地对定理的表述和论证有所加强，对便题、习题有所增加或修改，使本教材更接近于基本要求，更适宜于教学。
　　本书内容为：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型、线性空间与线性变换等六章，书末附有习题答案。本书可供高等工业院校各专业使用，也可供科技工作者阅读.

　　书 名: 线性代数
　　作　者：高宗升，周梦，李红裔　
　　出版社： 北京航空航天大学出版社
　　出版时间： 2009-9-1
　　ISBN: 9787811248944
　　开本： 16开
　　定价: 28.00元
　　内容简介:本书是为理工科大学（非数学专业）本科生编写的线性代数教材。全书共分9章，主要内容有：行列式、矩阵、向量组的线性相关性、线性方程组、矩阵的相似变换、二次型、线性空间、线性交换以及线性代数的一些应用。各章后均附有适量的习题，书后附有习题答案。
　　本书难易适度，结构严谨，重点突出，理论联系实际；特别注重学生对基础理论的掌握和思想方法的学习，以及对他们的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想像能力和自学能力的培养。
　　本书不但可作为理工科大学本科生的线性代数教材，也可作为高等教育自学考试教材及考研参考书，还可供有关教师和工程技术人员参考。