函数图象 发表评论(0) 编辑词条

　　函数观念古代早已有之，而函数概念则是由17世纪德国著名数学家莱布尼茨提出的。起初，人们研究函数，只是对着函数解析式反反复复地算来算去。后来，法国著名数学家笛卡儿引入了平面直角坐标系，该坐标系由两个数轴组成。两个数轴互相垂直，原点重合，单位长度相等。习惯上把铅直的数轴称为y轴，水平的数轴称为x轴，y轴的上方为正方向，x轴的右方为正方向。从此，平面上的每一个点都可以用平面直角坐标系的坐标表示。
　　直角坐标系引入后，人们发现，直角坐标系用有序数对表示点，而有序数对中的两个数恰恰可以用函数中的两个变量表示。这是数学史上的伟大创举!
　　此后，人们就知道，函数可以通过坐标系转化成图形，从而直观地研究。数和形是数学的两大根基，以前毫不相干，正是坐标系的出现，把作为“数”的函数转化为作为“形”的图象，从此数学发展更蓬勃。令数有了几何意义，是很多高等数学的思想，如微积分中，导数的几何意义就是某函数的图象在一点上的切线的斜率。

　　对于一个函数y=f(x)，如果把其中的自变量x视为直角坐标系上的某一点的横坐标，把对应的唯一的函数值y视为此点的纵坐标，那么，这个函数y=f(x)，无论x取何值，都同时确定了一个点，由于x的取值范围是无穷大，同样y也有无穷个，表示的点也就有无穷个。这些点在平面上组成的图形就是此函数的图象，简称图象。
[编辑本段]函数图象的形状
　　对于一个函数y=f(x)，由x得到y并表示一个点，那么这无数个点在平面上是不是毫无规律呢？答案是否定的。实际上，函数的总类有很多，同一种函数的图象在人的直观上看来是相似的。例如，一次函数f(x)=kx+b的图象就是一条直线；而正比例函数f(x)=kx的图象，因为正比例函数是特殊的一次函数，所以其图象对于一次函数的图象来说也比较特殊，是一条过原点的直线；二次函数的图象是一条抛物线；反比例函数的图象是一组双曲线；正弦函数的图象称作正弦曲线，实际上是我们常说的波浪线，等等。
　　并非所有函数的图象都是无限长的直线或曲线。有些特殊的函数，其图象是一个点，而某些规定了自变量取值范围的函数，其图象则是一线段。

　　我们知道了函数在坐标系上对应的每个点都是有规律的。我们知道了一个函数的图象的基本形状，就可以很容易地作出这个函数的图象。
　　如对于正比例函数，我们只需代入一个x值得到y值，便确定了一个点，把这个点与原点连起来即可成功。因为正比例函数的图象是一根过原点的直线。而一次函数则需要多找一个点，把两个点连起来就可以，因为一次函数的图象是一根直线，两点确定一根直线。
　　非一次函数的图象比较麻烦，因为它们的图象是曲线。这时候，就要采用多点作图法。因为我们先前已经探讨过，每一种函数的图象在人的直观上都是相同的。比如作一个二次函数的图象，如果想精确些，我们就找10个点，因为二次函数的图象是一条抛物线，所以我们大致地按照抛物线的轨迹用平滑的曲线把它连起来。粗略些，可以找3个点，用平滑的曲线连起来，形状大致跟抛物线贴合即可。

　　函数图象的出现是因为人们研究函数，从而渴望得到一种快捷方便的方式。所以函数图象的最大作用就是让人看到函数的变化，能更深入地研究。
　　再漂亮的函数解析式，也只不过是加减乘除开方平方、abcdefxyz和0123456789掺杂而成的枯燥算式。但把函数解析式表示成图象，我们能从中获取很多信息。如从函数的升降我们可以看出，某个函数的自变量在某个取值范围内令函数值增大还是减少；对于一个二元方程组，其中的每一个方程都可以看作是一个函数，对应一个图象，这些函数的图象的交点便是方程组的解；把一个方程看作一个函数，从其图象与数轴的交点存在或不存在、交点对应的坐标值可以知道此方程有解或无解，解是多少；对于一个由曲线组成的图形，可以放入直角坐标系，解出这些曲线的函数解析式，便可以用微积分计算出此图形的面积，这是初等数学无法做到的……以上所述不过是函数图象作用的凤毛麟角，而随着数学研究的深入，函数的应用也越来越广泛，而用图象研究函数是必然的。
　　函数是一门贴和实纪的学问所以我们要认真对待！