随机微分方程 发表评论(0) 编辑词条

随机微分方程是20世纪中叶发展起来的一个学科.系数为随机量的常微分方程和由随机过程驱动的微分系统，一般称为随机微分方程.又因为前者可以直接地处理为随机参数的常微分方程，所以，通常的随机微分方程常常专门指后者.由于快速变化的噪声可以用Brown运动建模，也由于这方面的理论研究成果已经很充分，处理形式也相对地简单，并且在实际中也更多地出现，所以人们更关注于以Brown运动为驱动的随机微分方程，研究它的基本性质，利用它来建模.例如，在金融系统、数量经济、控制系统、统计物理、系统生物学中都常见到这样的模型.理论的发展与应用的需要就形成了以Ito积分为核心的Ito随机分析的学科.另一方面，由于随机驱动中突变的发生，人们又引入了以Poisson点过程为驱动的随机分析，称为Poisson随机分析.这两种最典型的模型，相对地又具有许多使用方便的性质，特别地，鞅论的成果为此提供了有力的数学工具.
在统计物理中，人们是通过求解Master方程和 Fokker?Plank方程得到系统状态的概率密度和状态转移的概率密度，由此了解系统的时间发展的.事实上，仅有这样的理解是片面的.要想了解随机系统的时间发展，更需要将状态按时间的发展作为随机试验的基本结果进行概率和统计研究，这就是随机过程的轨道.因为描写转移的统计概率规律的参数通常是不知道的，所以，只知道系统在固定时间的统计规律和状态转移的统计规律常常是不够的，这时就需要通过实验的结果统计地推定，即作统计估计.为此就需要用随机过程的一段足够长时间的现实，即轨道数据，来估值.这种用随机过程的一个轨道表示过程的特征参数的性质，就是用时间平均近似空间平均的性质，统计物理学家通常称之为遍历性质.统计物理的基础之一就是假定系统的发展具有遍历性质.然而如果进一步追溯，什么样的模型能具有遍历性质呢? 统计物理中忽视了这一方面的阐述与研究.而用Markov过程与随机微分方程的理论可以完美地回答这个问题.这个理论说明在很宽松的条件下，用随机过程的一个轨道表示过程的特征参数是完全可能的.由此可见，了解随机过程的精髓就要了解系统模型的状态的时间发展，即随机过程的轨道的研究.在这方面随机微分方程提供了一个强大的模型与有力的工具.