不动点理论 发表评论(0) 编辑词条

数学中有很多的不动点理论,最常见的就是Brouwer不动点定理,它指出对于具有一定性质的连续函数f必存在一点x0 使得f(x0) = x0.最简单的一种情形是圆盘D到它自身的一个连续映射必有不动点,更一般得情形是任何凸紧致集到它自身的连续映射必有不动点.在最初的定理中,不动点是用来研究欧氏空间的拓扑性质而发展起来的,后来最广泛的应用是在微分方程的解的定性分析中,同时在微分几何中也被广泛运用.在经济学分支博弈论中,Nash曾用来证明Nash均衡的存在性,同时很多均衡理论都用到此定理,如一般均衡的存在性定理等.

Brouwer定理在现实生活中也有很多例子,例如

★拿同一个人的大小两张照片，把小照片随手叠放在大照片上，那么小照片上一定有一个点，它和下面的大照片与之相对应的点，实际上表示的是同一个点。（通俗一点儿说就是：存在那么一个点，当小照片和大照片相对这个点作等速收缩时，最后都收缩到这个点上！用数学语言来说：两个相似的长方形叠放，一定存在一个点，它和长方形四个顶点分割成的四对三角形对应相似！）用sketchpad可以把这个不动点明确地找出来，而且可直观说明这个点存在的唯一性。注：当两个四边形对应的边平行时，不动点的做法有所不同：它是对应顶点连线的交点（四线共点）。
★ 今天我坐快客15：00到明天下午15：00从温州到沈阳五爱，后天我再从15：00用24小时回温州，途中存在一个点，我去和回经过它时时间相同！
★在任何时刻的地球上总可以找到一个点，此时此刻此处没有风！中心风力达到12级的台风，在其中心10千米直径的范围内空气几乎是不旋转的，因而也就没有风！
★在一个碗里倒满水，然后用筷子敲碗边，波纹从碗边向碗中心移动，中心部分波纹因互相抵消而消失。用木棍搅动一盆水，四周的水飞速旋转，而盆中心处的水保持静止。声波亦如此：老师带着学生到寺庙参观，老师把伸进大吊钟里去看钟的结构，有一学生想吓唬老师便趁机用撞钟木去撞大吊钟，不但没有吓到老师反而自己被震耳的钟声吓了一大跳！
★由拓扑学的知识可知：拿一个平底盘和一张恰好能盖住平底盘的纸，纸上每一个点恰好对应着它正下方的平底盘上的点。把纸拿起来揉成一团随便扔进盘里，不管小纸团如何揉，不管扔到盘里的什么地方，在小纸团至少有一个点，它恰好位于盘子原先与这一点对应的点的正上方！