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误差修正模型（Error Correction Model）

误差修正模型的产生原因编辑本段 回目录

　　对于非稳定时间序列，可通过差分的方法将其化为稳定序列，然后才可建立经典的回归分析模型。

　　如：建立人均消费水平（Y）与人均可支配收入（X）之间的回归模型：

　　 $Y t = α 0 + α 1 X t + μ t$

如果Y与X具有共同的向上或向下的变化趋势,进行差分，X,Y成为平稳序列，建立差分回归模型得：

　　 $Δ Y t = α 1 Δ X t + v t$ 式中， $v t = μ t - μ t - 1$ 　　

　　　　然而，这种做法会引起两个问题： (1)如果X与Y间存在着长期稳定的均衡关系 $Y t = α 0 + α 1 X t + μ t$ 且误差项 $μ t$ 不存在序列相关，则差分式 $Δ Y t = α 1 Δ X t + v t$ 中的 $v t$ 是一个一阶移动平均时间序列，因而是序列相关的；(2)如果采用差分形式进行估计，则关于变量水平值的重要信息将被忽略，这时模型只表达了X与Y间的短期关系，而没有揭示它们间的长期关系。

　　因为，从长期均衡的观点看，Y在第t期的变化不仅取决于X本身的变化，还取决于X与Y在t-1期末的状态，尤其是X与Y在t-1期的不平衡程度。另外，使用差分变量也往往会得出不能令人满意回归方程。

例如，使用 $Δ Y 1 = Δ X t + v t$ 回归时，很少出现截距项显著为零的情况，即我们常常会得到如下形式的方程： ${\Delta}Y_t=\hat{{\alpha}_0}+\hat{{\alpha}_1}{\Delta}X_t+v_t$ 式中， $\hat{{\alpha}_0}\ne0$ （*）

　　在X保持不变时，如果模型存在静态均衡（static equilibrium），Y也会保持它的长期均衡值不变。

　　但如果使用（*）式，即使X保持不变，Y也会处于长期上升或下降的过程中，这意味着X与Y间不存在静态均衡。这与大多数具有静态均衡的经济理论假说不相符。可见，简单差分不一定能解决非平稳时间序列所遇到的全部问题，因此，误差修正模型便应运而生。

误差修正模型的概述编辑本段 回目录

　　误差修正模型（Error Correction Model，简记为ECM）是一种具有特定形式的计量经济学模型，它的主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，称为DHSY模型。

为了便于理解，我们通过一个具体的模型来介绍它的结构。

　　假设两变量X与Y的长期均衡关系为:

　　 $Y t = α 0 + α 1 X t + μ t$

　　由于现实经济中X与Y很少处在均衡点上，因此实际观测到的只是X与Y间的短期的或非均衡的关系，假设具有如下(1,1)阶分布滞后形式

$Y_t={\beta}_0+{\beta}_1X_t+{\beta}_2X_{t-1}+{\mu}Y_{t-1}+{\varepsilon}_t$

该模型显示出第t期的Y值，不仅与X的变化有关，而且与t-1期X与Y的状态值有关。

　　由于变量可能是非平稳的，因此不能直接运用OLS法。对上述分布滞后模型适当变形得： ${\Delta}Y_t={\beta}_1{\Delta}X_t-\lambda(Y_{t-1}\alpha}_0\alpha}_1X_{t-1})+{\varepsilon}_t$ (**) , 式中， $λ = 1 - μ$ ， ${\alpha}_0=\frac{\beta_0}{(1-\mu)}$ ， ${\alpha}_1=\frac{({\beta}_1+{\beta}_2)}{(1-\mu)}$

　　如果将（**）中的参数，与 $Y t = α 0 + α 1 X t + μ t$ 中的相应参数视为相等，则（**）式中括号内的项就是t-1期的非均衡误差项。

　　（**）式表明：Y的变化决定于X的变化以及前一时期的非均衡程度。同时，（**）式也弥补了简单差分模型 $Δ Y 1 = Δ X t + v t$ 的不足，因为该式含有用X、Y水平值表示的前期非均衡程度。因此，Y的值已对前期的非均衡程度作出了修正。

${\Delta}Y_t={\beta}_1{\Delta}X_t-\lambda(Y_{t-1}\alpha}_0\alpha}_1X_{t-1})+{\varepsilon}_t$ (**)

称为一阶误差修正模型(first-order error correction model)。

　　（**）式可以写成： ${\Delta}Y_t={\beta}_1{\Delta}X_t-\lambda ecm+{\varepsilon}_t$

其中:ecm表示误差修正项。由分布滞后模型 $Y_t={\beta}_0+{\beta}_1X_t+{\beta}_2X_{t-1}+{\mu}Y_{t-1}+{\varepsilon}_t$ 知：一般情况下| $μ$ |<1 ，由关系式 $μ$ 得0< $λ$ <1。可以据此分析ecm的修正作用：

　　(1)若(t-1)时刻Y大于其长期均衡解 $α 0 + α 1 X$ ，ecm为正，则(- $λ$ ecm)为负，使得 $Δ Y t$ 减少；

　　(2)若(t-1)时刻Y小于其长期均衡解 $α 0 + α 1 X$ ，ecm为负，则(- $λ$ ecm)为正，使得 $Δ Y t$ 增大。

　　（***）体现了长期非均衡误差对的控制。

需要注意的是：在实际分析中，变量常以对数的形式出现。

　　其主要原因在于变量对数的差分近似地等于该变量的变化率，而经济变量的变化率常常是稳定序列，因此适合于包含在经典回归方程中。

于是:

(1)长期均衡模型

$Y t = α 0 + α 1 X t + μ t$

中的 $α 1$ 可视为Y关于X的长期弹性（long-run elasticity）

(2)短期非均衡模型 $Y_t={\beta}_0+{\beta}_1X_t+{\beta}_2X_{t-1}+{\mu}Y_{t-1}+{\varepsilon}_t$

中的 $β 1$ 可视为Y关于X的短期弹性（short-run elasticity）。

更复杂的误差修正模型可依照一阶误差修正模型类似地建立。

误差修正模型的建立编辑本段 回目录

　　（1）Granger 表述定理

　　误差修正模型有许多明显的优点：如 a）一阶差分项的使用消除了变量可能存在的趋势因素，从而避免了虚假回归问题； b）一阶差分项的使用也消除模型可能存在的多重共线性问题； c）误差修正项的引入保证了变量水平值的信息没有被忽视； d）由于误差修正项本身的平稳性，使得该模型可以用经典的回归方法进行估计，尤其是模型中差分项可以使用通常的t检验与F检验来进行选取。

因此，一个重要的问题就是：是否变量间的关系都可以通过误差修正模型来表述？

就此问题，Engle 与 Granger 1987年提出了著名的Grange表述定理（Granger representaion theorem）：

如果变量X与Y是协整的，则它们间的短期非均衡关系总能由一个误差修正模型表述：

$Δ Y t = l a g g e d (Δ Y,Δ X) - λμ t - 1 + ε t$

式中， $μ t - 1$ 是非均衡误差项或者说成是长期均衡偏差项， $λ$ 是短期调整参数。

对于(1,1)阶自回归分布滞后模型 $Y_t={\beta}_0+{\beta}_1X_t+{\beta}_2X_{t-1}+{\mu}Y_{t-1}+{\varepsilon}_t$

如果 Yt~I(1), Xt~I(1) ; 那么 ${\Delta}Y_t={\beta}_1{\Delta}X_t-\lambda(Y_{t-1}\alpha}_0\alpha}_1X_{t-1})+{\varepsilon}_t$ 的左边 $Δ Y t$ ~I(0) ，右边的 $Δ X t$ ~I(0) ，因此，只有Y与X协整，才能保证右边也是I(0)。

因此，建立误差修正模型，需要

首先对变量进行协整分析，以发现变量之间的协整关系，即长期均衡关系，并以这种关系构成误差修正项。然后建立短期模型，将误差修正项看作一个解释变量，连同其它反映短期波动的解释变量一起，建立短期模型，即误差修正模型。

（2）Engle-Granger两步法

由协整与误差修正模型的的关系，可以得到误差修正模型建立的E-G两步法：第一步，进行协整回归（OLS法），检验变量间的协整关系，估计协整向量（长期均衡关系参数）；第二步，若协整性存在，则以第一步求到的残差作为非均衡误差项加入到误差修正模型中，并用OLS法估计相应参数。需要注意的是：在进行变量间的协整检验时，如有必要可在协整回归式中加入趋势项，这时，对残差项的稳定性检验就无须再设趋势项。另外，第二步中变量差分滞后项的多少，可以残差项序列是否存在自相关性来判断，如果存在自相关，则应加入变量差分的滞后项。

（3）直接估计法

也可以采用打开误差修整模型中非均衡误差项括号的方法直接用OLS法估计模型。但仍需事先对变量间的协整关系进行检验。

如对双变量误差修正模型 ${\Delta}Y_t={\beta}_1{\Delta}X_t-\lambda(Y_{t-1}\alpha}_0\alpha}_1X_{t-1})+{\varepsilon}_t$

可打开非均衡误差项的括号直接估计下式：

${\Delta}Y_t=\lambda{\alpha}_0+{\beta}_1{\Delta}X_t+\lambda{Y}_{t-1}+\lambda{\alpha}_1X{t-1}+{\varepsilon}_t$