方块矩阵(Square Matrix) 发表评论(0) 编辑词条

　　方块矩阵，或简称方阵，是行数及列数皆相同的矩阵。由n*n矩阵组成的集合，连同矩阵加法和矩阵乘法，构成环。 除了 n = 1，此环并不是交换环。
　　M(n, R)，即实方块矩阵环，是个实有单位的结合代数。M(n, C)，即复方块矩阵环，则是复结合代数。
　　单位矩阵 In 的对角线全是 1 而其他位置全是 0，对所有m*n的矩阵M  及 n*k的矩阵N 都有 MIn = M 及 InN = N。
　　例如，若 n = 3：
　　单位矩阵是方块矩阵环的单位元。
　　方块矩阵环的可逆元称为可逆矩阵或非奇异矩阵。 N*N矩阵 A 是可逆当且仅当存在矩阵 B 使得
　　AB = In( = BA)。
　　此时 B 称为 A 的逆矩阵，并记作 A − 1。 所有N*N矩阵在乘法上组成一个群（亦是一个李群），称为一般线性群。
　　若数字 λ 和非零向量V满足 ，则AV=λV(V为向量）为 A 的一个特征向量，λ 是其对应的特征值。数字 λ 为 A 的特征值当且仅当 A − λIn 可逆，又当且仅当 pA(λ) = 0。 这里，pA(x) 是 A 的特征多项式。特征多项式是一个 n 次多项式，有 n 个复根（考虑重根），即 A 有 n 个特征值。
　　方块矩阵 A 的行列式是其 n 个特征值的积, 但亦可经由Leibniz formula计算出来。可逆矩阵正好是那些行列式非零的矩阵.
　　高斯-若尔当消元法非常重要，可以用来计算矩阵的行例式，秩，逆矩阵，并解决线性方程组。
　　矩阵的迹是N*N矩阵的对角线元素之和，也是其 n 个特征值之和。
　　所有正交矩阵都是方块矩阵。