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可数集 发表评论(0) 编辑词条

  countable set
  能与自然数集N建立一一对应的集合。又称可列集。如果将可数集的每个元素标上与它对应的那个自然数记号,那么可数集的元素就可以按自然数的顺序排成一个无穷序列a1,a2,a3,…an,…。例如,全体正偶数的集合是一个可数集,全体正奇数的集合也是可数集,它们与自然数集可以建立如下的一一对应
  自然数
  123456……n……
  正偶数
  24681012……2n……
  正奇数
  1357911……2n-1……这说明一个可数集可以含有可数的真子集,反过来,两个可数集也可以并成一个可数集。
  整数集与有理数集都是可数集。按照基数概念,能一一对应的两个集合的基数相同,于是有理数集、整数集、全体正偶数集等与自然数集有相同的基数。在这个意义上说,这些集合所含元素是“一样多”,但这些集合又是一个包含另一个作为真子集,所以又不同于有限集元素的“多少”概念。值得注意的是,并非所有的无穷集都是可数集,因为G.康托尔证明了实数集不是可数集,这样,实数集与自然数集有不同的基数,因而说明了无穷集所含元素数量的多少还有某种层次区别。
  可数集的新定义,以区别可列集
  可列和可数在英文里是一个词:countable,这是以前科学不够发达,不需要进行区分时的结果。
  而现在我们需要进行概念区分,因此按字面意思,将“可列”理解为“可以写出”;“可数”理解为“可以记数”。在下面的论述中,分这样两个概念讨论。
  我们无法写出一个最大的自然数,因此自然数全体是不可写全的,任何无限集,都是不可写全的。(不可列)
  如果有一些数,位数多的我们承认有生之年无法完全比较,而在可比较的范围内它们又一样,这样我们在数元素个数时,不知道它们该算一个元素还是多个元素,这种情况,称为不可记数。
  从定义可以看出,不可写全的数,如果我们发现它的一部分,和集合中的其它元素都不一样,我们就知道它是一个独立元素,就可以记数。而不可记数的数,我们可能可以知道它的数量范围(最大数量每个算一个元素,最小数量认为只有一个元素),或者也可以知道它们都是可写的。因此这两个概念是有交叉而互不影响的。
  无理数除了能用有理数表示的和可以定义的,都是不可列的。
  定理:最大元素数量的有限集(如果存在的话),或与最大数量有限集差固定常数的集合(如果仍然存在的话),是不可能写全的。最大元素数量有限集是无限趋近于无限集的,以至于没有手段进行判断。任何定义的无限集或有限集都需要满足此公理。
  证明:假设最大有限集元素被全部写出,那么写完其中所有元素后,再增加一个元素,该集合元素数量还是有限的,但元素数量比已写出的集合元素数量多1,证明原来假设写出的是数量最多的有限集不成立。所以最大元素数量的有限集,是不可能写全的。假设与最大数量有限集差固定常数的集合被全部写出,那么再写该常数多个元素,就能写出最大有限集,这与刚才的结果矛盾。
  定理:位数最多的非无限循环有理数(如果存在的话)是不可能被写出的,尽管它的定义是有有限位,但它是无限趋近于无理数的,以至于没有手段进行判断。
  证明:假设位数最多的非无限循环有理数被写出,我们在这个数的最后再加一位,这个数还是有限位有理数,但位数比已写出有理数多一位,证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数。所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的。
  可能上面的几个“如果存在的话”看起来是荒谬的,但是数学中总是有这样的情况:应用了不同的公理和不同的定义,就能得到不同的结果,有些说不定是有用的,例如黎曼的非欧几何,现在成为了广义相对论的基础。如果有新定义说“可数”也是一种“有限”呢?!在有些情况下这是合理的。
  集合比较的等势概念,并非统一公认的,很多数学家对此进行了质疑。康托尔对实数集不是可数集的证明,也是被质疑的证明。
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