有理数 发表评论(0) 编辑词条

　　有理数（rational number)
　　读音:(yǒu lǐ shù)
　　整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。
　　任何一个有理数都可以在数轴上表示。
　　无限不循环小数和开方开不尽的数开方根叫作无理数 ,比如π，3.1415926535897932384626......
　　而有理数恰恰与它相反,整数和分数统称为有理数
　　其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。
　　这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。
　　数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为 λογος ，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。不是有理数的实数遂称为无理数。
　　所有有理数的集合表示为 Q，有理数的小数部分有限或为循环。
　　有理数包括：
　　1）自然数：数0，1，2，3，……叫做自然数。
　　2）正数：比0大的数叫做正数。
　　3）负数：在正数前面加上“—”（读作“负”）号的数叫做负数。负数都小于0。
　　4）整数：正整数、0、负整数统称为整数。
　　5）分数：正分数、负分数统称为分数。
　　6）奇数：不是2的倍数的整数叫做奇数。如-3，-1，1，5等。所有的奇数都可用2n-1或2n+1表示，n为整数。
　　7）偶数：是2的倍数的整数叫做偶数。如-2，0，4，8等。所有的偶数都可用2n表示，n为整数。
　　8）质数：如果一个大于1的整数，除了1和它本身外，没有其他因数，这个数就称为质数，又称素数，如2，3，11，13等。2是最小的质数。
　　9）合数：如果一个大于1的整数，除了1和它本身外，还有其他因数，这个数就称为合数，如4，6，9，15等。4是最小的合数。
　　10）互数：如果两个正整数，除了1以外没有其他因数，这两个整数称为互数，如2和5，9和13等。
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　　如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。
　　全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。
　　有理数集是实数集的子集。相关的内容见数系的扩张。
　　有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：
　　①加法的交换律 a+b=b+a；
　　②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c；
　　③存在数0，使 0+a=a+0=a；
　　④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；
　　⑤乘法的交换律 ab=ba；
　　⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c；
　　⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；
　　⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a；
　　⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。
　　⑩0a＝0 文字解释：一个数乘0还等于0。
　　此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。
　　0的绝对值还是0.
　　有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。由此不难推知，不存在最大的有理数。
　　值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是（rational number），而（rational）通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为（ratio），就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，而“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。
　　有理数加减混合运算
　　1.理数加减统一成加法的意义：
　　对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。
　　2.有理数加减混合运算的方法和步骤：
　　（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。
　　（2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。
　　有理数范围内已有的绝对值，相反数等概念，在实数范围内有同样的意义。
　　一般情况下，有理数是这样分类的：
　　整数、分数；正数、负数和零；负有理数，非负有理数 前人夫妻二
　　整数和分数统称有理数,有理数可以用a/b的形式表达，其中a、b都是整数，且互质。我们日常经常使用有理数的。比如多少钱，多少斤等。
　　凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数

　　古埃及人约于公元前17世纪初已使用分数，中国《九章算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程px=q（p≠0），如果p，q是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。

　　关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。在Z×（Z -{0}）即整数有序对（但第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设 p1，p2 Z，q1，q2 Z - {0}，如果p1q2=p2q1。则称（p1，q2）～（p2，q1）。Z×（Z -{0}）关于这个等价关系的等价类，称为有理数。（p，q）所在的有理数，记为 。一切有理数所成之集记为Q。令整数p对应一于，即（p，1）所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。
　　有理数集合是一个数域。任何数域必然包含有理数域。即有理数集合是最小的数域。
[编辑本段]一个困难的问题：　有理数的边界在哪里？
　　根据定义，无限循环小数和有限小数（整数可认为是小数点后是0的小数），统称为有理数，无限不循环小数是无理数。
　　但人类不可能写出一个位数最多的有理数，对全地球人类，或比地球人更智慧的生物来说是有理数的数，对每个地球人来说，可能是无法知道它是有理数还是无理数了。因此有理数和无理数的边界，竟然紧靠无理数，任何两个十分接近的无理数中间，都可以加入无穷多的有理数，反之也成立。
　　竟然没有人知道有理数的边界，或者说有理数的边界是无限接近无理数的。
　　定理：位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的，尽管它的定义是有有限位，但它是无限趋近于无理数的，以致于没有手段进行判断。
　　证明：假设位数最多的非无限循环有理数被写出，我们在这个数的最后再加一位，这个数还是有限位有理数，但位数比已写出有理数多一位，证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数。所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的。