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有理数 发表评论(0) 编辑词条

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  有理数(rational number)
  读音:(yǒu lǐ shù)
  整数和分数统称为有理数,任何一个有理数都可以写成分数m/n(m,n都是整数,且n≠0)的形式。
  任何一个有理数都可以在数轴上表示。
  无限不循环小数和开方开不尽的数开方根叫作无理数 ,比如π,3.1415926535897932384626......
  而有理数恰恰与它相反,整数和分数统称为有理数
  其中包括整数和通常所说的分数,此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。
  这一定义在数的十进制和其他进位制(如二进制)下都适用。
  数学上,有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio),通常写作 a/b,故又称作分数。希腊文称为 λογος ,原意为“成比例的数”(rational number),但中文翻译不恰当,逐渐变成“有道理的数”。不是有理数的实数遂称为无理数。
  所有有理数的集合表示为 Q,有理数的小数部分有限或为循环。
  有理数包括:
  1)自然数:数0,1,2,3,……叫做自然数。
  2)正数:比0大的数叫做正数。
  3)负数:在正数前面加上“—”(读作“负”)号的数叫做负数。负数都小于0。
  4)整数:正整数、0、负整数统称为整数。
  5)分数:正分数、负分数统称为分数。
  6)奇数:不是2的倍数的整数叫做奇数。如-3,-1,1,5等。所有的奇数都可用2n-1或2n+1表示,n为整数。
  7)偶数:是2的倍数的整数叫做偶数。如-2,0,4,8等。所有的偶数都可用2n表示,n为整数。
  8)质数:如果一个大于1的整数,除了1和它本身外,没有其他因数,这个数就称为质数,又称素数,如2,3,11,13等。2是最小的质数。
  9)合数:如果一个大于1的整数,除了1和它本身外,还有其他因数,这个数就称为合数,如4,6,9,15等。4是最小的合数。
  10)互数:如果两个正整数,除了1以外没有其他因数,这两个整数称为互数,如2和5,9和13等。
  ……
  如3,-98.11,5.72727272……,7/22都是有理数。
  全体有理数构成一个集合,即有理数集,用粗体字母Q表示,较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。
  有理数集是实数集的子集。相关的内容见数系的扩张。
  有理数集是一个域,即在其中可进行四则运算(0作除数除外),而且对于这些运算,以下的运算律成立(a、b、c等都表示任意的有理数):
  ①加法的交换律 a+b=b+a;
  ②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c;
  ③存在数0,使 0+a=a+0=a;
  ④对任意有理数a,存在一个加法逆元,记作-a,使a+(-a)=(-a)+a=0;
  ⑤乘法的交换律 ab=ba;
  ⑥乘法的结合律 a(bc)=(ab)c;
  ⑦分配律 a(b+c)=ab+ac;
  ⑧存在乘法的单位元1≠0,使得对任意有理数a,1a=a;
  ⑨对于不为0的有理数a,存在乘法逆元1/a,使a(1/a)=(1/a)a=1。
  ⑩0a=0 文字解释:一个数乘0还等于0。
  此外,有理数是一个序域,即在其上存在一个次序关系≤。
  0的绝对值还是0.
  有理数还是一个阿基米德域,即对有理数a和b,a≥0,b>0,必可找到一个自然数n,使nb>a。由此不难推知,不存在最大的有理数。
  值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解,有理数并不比别的数更“有道理”。事实上,这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来,在英语中是(rational number),而(rational)通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作,依据日语中的翻译方法,以讹传讹,把它译成了“有理数”。但是,这个词来源于古希腊,其英文词根为(ratio),就是比率的意思(这里的词根是英语中的,希腊语意义与之相同)。所以这个词的意义也很显豁,就是整数的“比”。与之相对,而“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数,而并非没有道理。
  有理数加减混合运算
  1.理数加减统一成加法的意义:
  对于加减混合运算中的减法,我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法,这样就可将混合运算统一为加法运算,统一后的式子是几个正数或负数的和的形式,我们把这样的式子叫做代数和。
  2.有理数加减混合运算的方法和步骤:
  (1)运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。
  (2)运用加法法则,加法交换律,加法结合律简便运算。
  有理数范围内已有的绝对值,相反数等概念,在实数范围内有同样的意义。
  一般情况下,有理数是这样分类的:
  整数、分数;正数、负数和零;负有理数,非负有理数 前人夫妻二
  整数和分数统称有理数,有理数可以用a/b的形式表达,其中a、b都是整数,且互质。我们日常经常使用有理数的。比如多少钱,多少斤等。
  凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数,又叫无限不循环小数

有理数的由来 编辑本段回目录


  古埃及人约于公元前17世纪初已使用分数,中国《九章算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程px=q(p≠0),如果p,q是整数,则方程不一定有整数解。为了使它恒有解,就必须把整数系扩大成为有理系。

有理数的现代理论 编辑本段回目录


  关于有理数系的严格理论,可用如下方法建立。在Z×(Z -{0})即整数有序对(但第二元不等于零)的集上定义的如下等价关系:设 p1,p2 Z,q1,q2 Z - {0},如果p1q2=p2q1。则称(p1,q2)~(p2,q1)。Z×(Z -{0})关于这个等价关系的等价类,称为有理数。(p,q)所在的有理数,记为 。一切有理数所成之集记为Q。令整数p对应一于,即(p,1)所在的等价类,就把整数集嵌入到有理数的集中。因此,有理数系可说是由整数系扩大后的数系。
  有理数集合是一个数域。任何数域必然包含有理数域。即有理数集合是最小的数域。
[编辑本段]一个困难的问题: 有理数的边界在哪里?
  根据定义,无限循环小数和有限小数(整数可认为是小数点后是0的小数),统称为有理数,无限不循环小数是无理数。
  但人类不可能写出一个位数最多的有理数,对全地球人类,或比地球人更智慧的生物来说是有理数的数,对每个地球人来说,可能是无法知道它是有理数还是无理数了。因此有理数和无理数的边界,竟然紧靠无理数,任何两个十分接近的无理数中间,都可以加入无穷多的有理数,反之也成立。
  竟然没有人知道有理数的边界,或者说有理数的边界是无限接近无理数的。
  定理:位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的,尽管它的定义是有有限位,但它是无限趋近于无理数的,以致于没有手段进行判断。
  证明:假设位数最多的非无限循环有理数被写出,我们在这个数的最后再加一位,这个数还是有限位有理数,但位数比已写出有理数多一位,证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数。所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的。

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