向量 发表评论(0) 编辑词条

　　数学中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量）。
　　注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组，称为n维向量。α=（a1，a2，…，an） 称为n维向量.其中ai称为向量α的第i龇至?/b>。
　　（"a1"的"1"为a的下标，"ai"的"i"为a的下标,其他类推）。

　　向量（或矢量），最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．
　　从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．
　　向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学．
　　但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析．
　　三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。

　　1、代数表示：一般印刷用黑体小写字母α、β、γ … 或a、b、c … 等来表示，手写用在a、b、c…等字母上加一箭头表示。
　　2、几何表示：向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。（若规定线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。这种具有方向和长度的线段叫做有向线段。）
　　3、坐标表示：
　　1) 在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理知，有且只有一对实数（x，y），使得 a=向量OP=xi+yj，因此把实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）。这就是向量a的坐标表示。其中（x，y）就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。
　　2) 在立体三维坐标系中,分别取与x轴、y轴,z轴方向相同的3个单位向量i，j, k作为一组基底。若a为该坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。由空间基本定理知，有且只有一组实数（x，y, z），使得 a=向量OP=xi+yj+zk，因此把实数对（x，y, k）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y, z）。这就是向量a的坐标表示。其中（x，y, k）,也就是点P的坐标。向量OP称为点P的位置向量。
　　3) 当然,对于空间多维向量,可以通过类推得到,此略.

　　向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。
　　注：
　　1、向量的模是非负实数，是可以比较大小的。
　　2、因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如，“向量AB>向量CD”是没有意义的。

单位向量
　　长度为单位1的向量，叫做单位向量．与向量a同向且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。
零向量
　　长度为0的向量叫做零向量，记作0．零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。
相等向量
　　长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b．
　　规定：所有的零向量都相等．
　　当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示同一向量。
自由向量
　　始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量。
　　在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量。
　　数学中只研究自由向量。
滑动向量
　　沿着直线作用的向量称为滑动向量。
固定向量
　　作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）。
位置向量
　　对于坐标平面内的任意一点P，我们把向量OP叫做点P的位置向量，记作：向量P。
相反向量
　　与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a。有 -（-a）=a；
　　零向量的相反向量仍是零向量。
平行向量
　　方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线），记作a∥b．
　　零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定：零向量与任一向量平行．
　　平行于同一直线的一组向量是共线向量。
共面向量
　　平行于同一平面的三个（或多于三个）向量叫做共面向量。
　　空间中的向量有且只有以下两种位置关系：⑴共面；⑵不共面。
　　只有三个或三个以上向量才谈共面不共面。
　　

　　设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法
　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
　　AB+BC=AC。
　　a+b=(x+x'，y+y')。
　　a+0=0+a=a。
　　向量加法的运算律：
　　交换律：a+b=b+a；
　　结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
　　如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
　　AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
　　a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').
3、数乘向量
　　实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
　　当λ＞0时，λa与a同方向；
　　当λ＜0时，λa与a反方向；
　　当λ=0时，λa=0，方向任意。
　　当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
　　注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
　　实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
　　当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；
　　当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
　　数与向量的乘法满足下面的运算律
　　结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
　　向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.
　　数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.
　　数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的数量积
　　定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
　　定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a·b。若a、b不共线，则a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共线，则a·b=+-∣a∣∣b∣。
　　向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。
　　向量的数量积的运算律
　　a·b=b·a（交换律）；
　　(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；
　　（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；
　　向量的数量积的性质
　　a·a=|a|的平方。
　　a⊥b 〈=〉a·b=0。
　　|a·b|≤|a|·|b|。（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|）
　　向量的数量积与实数运算的主要不同点
　　1、向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。
　　2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。
　　3、|a·b|≠|a|·|b|
　　4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
5、向量的向量积
　　定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
　　向量的向量积性质：
　　∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
　　a×a=0。
　　a∥b〈=〉a×b=0。
　　向量的向量积运算律
　　a×b=-b×a；
　　（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
　　（a+b）×c=a×c+b×c.
　　注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。
6、三向量的混合积
　　定义：给定空间三向量a、b、c，向量a、b的向量积a×b，再和向量c作数量积(a×b)·c，所得的数叫做三向量a、b、c的混合积，记作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c
　　混合积具有下列性质：
　　1、三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V，并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时，混合积是负数，即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）
　　2、上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=0
　　3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)
　　4、(a×b)·c=a·(b×c)
7、三向量的二重向量积
　　由于二重向量叉乘的计算较为复杂，于是直接给出了下列化简公式以及证明过程：
　　二重向量叉乘化简公式及证明向量的三角形不等式
　　1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
　　① 当且仅当a、b反向时，左边取等号；
　　② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
　　2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
　　① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；
　　② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。
定比分点
　　定比分点公式（向量P1P=λ·向量PP2）
　　设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
　　若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
　　OP=(OP1+λOP2)/(1+λ)；（定比分点向量公式）
　　x=(x1+λx2)/(1+λ),
　　y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）
　　我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
　　三点共线定理
　　若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
　　三角形重心判断式
　　在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]其他
向量共线的条件
　　若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
　　若设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则有x1y2=x2y1。
　　零向量0平行于任何向量。
向量垂直的重要条件
　　a⊥b的充要条件是 a·b=0，即x1x2+y1y2=0。
　　零向量0垂直于任何向量.

　　学过高中物理便知道矢量，学过高等代数便知道向量，两个相似的概念其实是存在不同的。 矢量是一个几何中的概念，表示一个具有方向和大小的量，有起点和终点。从矢量的几何定义出发，是很难研究的。顺应数学中几何概念代数化的潮流，显然把矢量的概念用代数方法来表示，就好量化地定义矢量的运算并进一步研究各种复杂的运算（加乘带微分）。笛卡尔同学是个好同学，坐标系的出现方便了矢量的代数定义。把一个矢量r放置在一个人为规定的坐标系下，3维坐标系的x-y-z轴上分别有了3个基矢量i-j-k（长度为1），把这个矢量的起点和终点向三个轴上投影，得到三个投影矢量a*i,b*j,c*k,那么a,b,c（属于R）便是矢量r在这个坐标系下的坐标,即r=[a b c]*transpose[i j k]=[i j k]*transpose[a b c]。如此讲来，基本把人搞晕，来点儿干脆的，就是把矢量r平移使得其起点与坐标系原点重合，则其终点的坐标就是这个矢量的坐标，以坐标系原点为起点的矢量被称为矢径。矢量的坐标transpose[a b c]（即矢量的代数定义）便是代数学中常常出现的向量。两个概念常常被混为一谈是不对的，不仅仅因为矢量是几何概念而向量是代数概念，而且向量在代数中早就被扩充到n维，早已超出了现实生活3维空间的限制。另外，一个矢量或者说一个点（当矢量为矢径时，矢量就跟其终点一一对应）是客观存在，在不同的坐标系下将有不同的坐标表示，也就是说，一个矢量或者一个点可以有很多（无穷）向量与其对应。记住向量（3维及其以下）是矢量的代数表示就可以了。
　　有了代数定义，自然而然就要以向量去对应着研究矢量的运算，目前看来，矢量运算包括加（减）、点乘和叉乘和对时间求导。加和乘是在高等数学里见过的，而矢量求导运算是在本科的数学课程中没有见过的（至少我没在本科见过，说到这儿我又要鄙视当时的本科教育了），矢量的求导运算是研究刚体运动学和相对运动的基础（除非只会刨木头），在理论力学中有讲。需要注意的是，矢量叉乘的结果仍是一个矢量，这个新矢量的坐标（向量）的计算是与被乘矢量对应的一个反对称矩阵有关。同一个矢量在不同坐标系下坐标（向量）不同，坐标的变换需要依赖一个方向余弦阵，机器人学中又称旋转矩阵。