线性空间 发表评论(0) 编辑词条

　　简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。
　　以下是严格的定义：
　　设V是一个非空集合，F是一个域，在集合V的元素之间定义一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素x和y，在V中都有唯一的一个元素z与他们对应，称为x与y的和，记为z＝x＋y．在域F与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说，对于域F中任一数k与V中任一元素x，在V中都有唯一的一个元素y与他们对应，称为k与＠的数量乘积，记为y＝kx。如果加法与乘法还满足下述规则，那么V称为域F上的线性空间．
　　1. V对加法成Abel群，即满足：
　　（1）（交换律）x＋y＝y＋x；
　　（2）（结合律）（x＋y）＋z＝x＋（y＋z）
　　（3）（零元素）在V中有一元素0，对于V中任一元素x都有x＋0＝x；
　　（4）（负元素）对于V中每一个元素x，都有V中的元素y，使得x＋y=0；
　　2. 数量乘法满足：
　　（5）1x＝x；
　　（6）k(lx)=(kl)x；
　　3. 数量乘法和加法满足：
　　（7）（k+l）x＝kx＋lx；
　　（8）k（x＋y）＝kx＋ky．
　　其中，x，y，z为V中任意元素，k，l为域F中的任意元素，1是F的乘法单位元。
　　域F称为线性空间V的系数域或基域，F中元素称为纯量或数量（scalar），V中元素称为向量（vector）。
　　当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时，V称为复线性空间。注意，F也可以是一般域。

 

　　（1）V中零元素（或称0向量）是唯一的。
　　（2）V中任一向量x的负元素（或称负向量）是唯一的。
　　（3）kx=0（其中k是域F中元素，x是V中元素）当且仅当k=0或x=0。
　　（4）(-k)x=-(kx)=k(-x)。

 

　　1. 域F上m×n矩阵全体，按矩阵的加法与数乘是F上线性空间。
　　2. 复数域C是实数域R上的线性空间。
　　3. 域F上次数小于n的多项式形式全体是F上的线性空间。
　　4. 连续实变函数全体按函数的加法和数与函数的乘法是实数域R上的线性空间。