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线性空间 发表评论(0) 编辑词条

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定义 编辑本段回目录



  简单的说,线性空间是这样一种集合,其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素,任意元素与任意数(可以是实数也可以是复数,也可以是任意给定域中的元素)相乘后得到此集合内的另一元素。
  以下是严格的定义:
  设V是一个非空集合,F是一个域,在集合V的元素之间定义一种代数运算,叫做加法;这就是说,给出了一个法则,对于V中任意两个元素x和y,在V中都有唯一的一个元素z与他们对应,称为x与y的和,记为z=x+y.在域F与集合V的元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法;这就是说,对于域F中任一数k与V中任一元素x,在V中都有唯一的一个元素y与他们对应,称为k与@的数量乘积,记为y=kx。如果加法与乘法还满足下述规则,那么V称为域F上的线性空间.
  1. V对加法成Abel群,即满足:
  (1)(交换律)x+y=y+x;
  (2)(结合律)(x+y)+z=x+(y+z)
  (3)(零元素)在V中有一元素0,对于V中任一元素x都有x+0=x;
  (4)(负元素)对于V中每一个元素x,都有V中的元素y,使得x+y=0;
  2. 数量乘法满足:
  (5)1x=x;
  (6)k(lx)=(kl)x;
  3. 数量乘法和加法满足:
  (7)(k+l)x=kx+lx;
  (8)k(x+y)=kx+ky.
  其中,x,y,z为V中任意元素,k,l为域F中的任意元素,1是F的乘法单位元。
  域F称为线性空间V的系数域或基域,F中元素称为纯量或数量(scalar),V中元素称为向量(vector)。
  当系数域F为实数域时,V称为实线性空间。当F为复数域时,V称为复线性空间。注意,F也可以是一般域。


 

简单性质 编辑本段回目录



  (1)V中零元素(或称0向量)是唯一的。
  (2)V中任一向量x的负元素(或称负向量)是唯一的。
  (3)kx=0(其中k是域F中元素,x是V中元素)当且仅当k=0或x=0。
  (4)(-k)x=-(kx)=k(-x)。


 

例子编辑本段回目录





  1. 域F上m×n矩阵全体,按矩阵的加法与数乘是F上线性空间。
  2. 复数域C是实数域R上的线性空间。
  3. 域F上次数小于n的多项式形式全体是F上的线性空间。
  4. 连续实变函数全体按函数的加法和数与函数的乘法是实数域R上的线性空间。
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