欧几里德空间 发表评论(0) 编辑词条

　　欧几里德空间(Euclidean Space)，简称为欧氏空间(也可以称为平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。
　　欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。
　　欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质。
　　当一个线性空间定义了内积运算之后它就成为了欧几里德空间。

　　 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定 对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：
　　（1）g(x,y)=g(y,x)；
　　（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；
　　（3）g(kx,y)=kg(x,y)；
　　（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
　　这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。

　　1. （经典欧几里德空间E^n）在n维实向量空间R^n中定义内积(x,y)=x_1y_1+...+x_ny_n，则R^n为欧几里德空间。（事实上，任意一个n维欧几里德空间V等距同构于E^n。）
　　2. 设V是[0,1]区间上连续实函数全体，则V是R上线性空间，对于如下内积是欧几里德空间：(f,g)定义为fg在[0,1]区间上的积分值。