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符号秩 发表评论(0) 编辑词条

 我们假定 A 是在域 F 上的 m × n 矩阵并描述了上述线性映射。
  只有零矩阵有秩 0 A 的秩最大为 min(m,n) f 是单射,当且仅当 A 有秩 n(在这种情况下,我们称 A 有“满列秩”)。 f 是满射,当且仅当 A 有秩 m(在这种情况下,我们称 A 有“满行秩”)。 在方块矩阵 A (就是 m = n) 的情况下,则 A 是可逆的,当且仅当 A 有秩 n (也就是 A 有满秩)。 如果 B 是任何 n × k 矩阵,则 AB 的秩最大为 A 的秩和 B 的秩的小者。 即:秩(AB)≤min(秩(A),秩(B)) 推广到若干个矩阵的情况,就是:秩(A1A2...Am )≤min(秩(A1),秩(A2),...秩(Am)) 证明: 考虑矩阵的秩的线性映射的定义,令A、B对应的线性映射分别为 f 和 g ,则秩(AB)表示复合映射 f·g,它的象 Im f·g 是 g 的像 Im g 在映射 f 作用下的象。然而 Im g 是整个空间的一部分,因此它在映射 f 作用下的象也是整个空间在映射 f 作用下的象的一部分。也就是说映射 Im f·g 是Im f 的一部分。对矩阵就是:秩(AB)≤秩(A)。 对于另一个不等式:秩(AB)≤秩(B),考虑 Im g 的一组基:(e1,e2,...,en),容易证明(f(e1),f(e2),...,f(en))生成了空间 Im f·g ,于是 Im f·g 的维度小于等于Im g 的维度。对矩阵就是:秩(AB)≤秩(B)。 因此有:秩(AB)≤min(秩(A),秩(B))。若干个矩阵的情况证明类似。 作为 "<" 情况的一个例子,考虑积 两个因子都有秩 1,而这个积有秩 0。 可以看出,等号成立当且仅当其中一个矩阵(比如说 A )对应的线性映射不减少空间的维度,即是单射,这时 A 是满秩的。于是有以下性质: 如果 B 是秩 n 的 n × k 矩阵,则 AB 有同 A 一样的秩。 如果 C 是秩 m 的 l × m 矩阵,则 CA 有同 A 一样的秩。 A 的秩等于 r,当且仅当存在一个可逆 m × m 矩阵 X 和一个可逆的 n × n 矩阵 Y 使得 这里的 Ir 指示 r × r 单位矩阵。 证明可以通过高斯消去法构造性地给出。
  矩阵的秩加上矩阵的零化度等于矩阵的纵列数(这就是秩-零化度定理)。
计算

  计算矩阵 A 的秩的最容易的方式是高斯消去法。高斯算法生成的 A 的行梯阵形式有同 A 一样的秩,它的秩就是非零行的数目。
  例如考虑 4 × 4 矩阵
  我们看到第 2 纵列是第 1 纵列的两倍,而第 4 纵列等于第 1 和第 3 纵列的总和。第1 和第 3 纵列是线性无关的,所以 A 的秩是 2。这可以用高斯算法验证。它生成下列 A 的行梯阵形式:
  它有两个非零的横行。
  在应用在计算机上的浮点数的时候,基本高斯消去(LU分解)可能是不稳定的,应当使用秩启示(revealing)分解。一个有效的替代者是奇异值分解 (SVD),但还有更少代价的选择,比如有支点(pivoting)的QR分解,它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自 SVD 的一个奇异值是否为零的依据,实际选择依赖于矩阵和应用二者。
   计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,则方程组只要有一个解。在这种情况下,它有精确的一个解,如果它的秩等于方程的数目。如果增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩,则通解有 k 个自由参量,这里的 k 是在方程的数目和秩的差。否则方程组是不一致的。
  在控制论中,矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的,或可观察的。
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