最小正周期 发表评论(0) 编辑词条

　

　　如果周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期（minimal positive period）.例如，正弦函数的最小正周期是2π.
　　根据上述定义，我们有：
　　正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z且k≠0）都是他的周期，最小正周期是2π。
　　y=Asin(ωx+φ), T=2π/ω
　

　
　　例1求函数y＝｜sinx｜＋｜cosx｜的最小正周期.
　　解:∵ ＝｜sinx｜＋｜cosx｜
　　＝｜－sinx｜＋｜cosx｜
　　＝｜cos(x＋π/2)｜＋｜sin(x＋π/2)｜
　　＝｜sin(x＋π/2)｜＋｜cos(x＋π/2)｜
　　＝f(x+π/2)
　　对定义域内的每一个x，当x增加到x＋π/2时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π/2.
　

　　这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，其中正余弦函数求最小正周期的公式为T＝2π/｜w｜ ，正余切函数T＝π/｜w｜．
　　例2求函数y＝cotx－tanx的最小正周期.
　　解：y＝1/tanx－tanx=(1－tanx^2)/tanx=2*(1－tanx^2)/(2tanx)＝2cot2x
　　∴T＝π/2

 

　　设f(x)与g(x)是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T1、T2分别是它们的周期，且T1≠T2，则f(x)±g(x)的最小正周期T1、T2的最小公倍数，分数的最小公倍数＝T1,T2分子的最小公倍数/T1、T2分母的最大公约数
　　例3求函数y＝sin3x＋cos5x的最小正周期.
　　解：设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2，则T1=2π/3,T2=2π/5 ，所以y＝sin3x＋cos5x的最小正周期T＝2π／1＝2π.
　　例4求y＝sin3x＋tan 的最小正周期.
　　解：∵sin3x与tan2x/5 的最小正周期是2π/3与5π/2,其最小公倍数是10π/1＝10π.
　　∴y＝sin3x＋tan2x/5的最小正周期是10π.

 

　　例5求y＝｜sinx｜的最小正周期.
　　解：由y＝｜sinx｜的图象
　　可知y＝｜sinx｜的周期T＝π.