均值不等式 发表评论(0) 编辑词条

　　概念：
　　1、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
　　2、几何平均数：Gn=(a1a2...an)^(1/n)
　　3、算术平均数：An=(a1+a2+...+an)/n
　　4、平方平均数：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
　　这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn
　　a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号
　　均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(当r不等于0时);
　　(a1a2...an)^(1/n)(当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n)）
　　则有：当r　　注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)

　　(1)对实数a,b，有a^2+b^2≥2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a^2+b^2>0>-2ab
　　(2)对非负实数a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0
　　(3)对负实数a,b，有a+b<0<2√(a*b)
　　(4)对实数a,b，有a(a-b)≥b(a-b)
　　(5)对非负数a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0
　　(6)对非负数a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab
　　(7)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2
　　(8)对非负数a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
　　(9)对非负数a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2
　　(10)对实数a,b,c，有(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)

　　方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
　　用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
　　引理：设A≥0，B≥0，则(A＋B)^n≥A^n＋nA^(n－1)B。
　　注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A＋B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。
　　原题等价于：((a1＋a2＋…＋an )／n)^n≥a1a2…an。
　　当n＝2时易证；
　　假设当n＝k时命题成立，即
　　((a1＋a2＋…＋ak )／k)^k≥a1a2…ak。那么当n＝k＋1时，不妨设a(k＋1)是a1，a2 ，…，a(k＋1)中最大者，则
　　k a(k＋1)≥a1＋a2＋…＋ak。
　　设s＝a1＋a2＋…＋ak，
　　{[a1＋a2＋…＋a(k＋1)]／(k＋1)}^(k+1)
　　＝{s/k＋[k a(k＋1)－s]／[k(k＋1)]}^(k+1)
　　≥(s／k)^(k+1)＋(k＋1)(s／k)^k[k a(k＋1)－s]／k(k＋1) 用引理
　　＝(s／k)^k* a(k＋1)
　　≥a1a2…a(k＋1)。用归纳假设
　　下面介绍个好理解的方法
　　琴生不等式法
　　琴生不等式：上凸函数f(x)，x1,x2,...xn是函数f(x)在区间(a,b)内的任意n个点，
　　则有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]
　　设f(x)=lnx，f(x)为上凸增函数
　　所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)]
　　即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)

　　例一 证明不等式：2√x≥3-1/x (x>0)
　　证明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3
　　所以，2√x≥3-1/x
　　例二 长方形的面积为p，求周长的最小值
　　解：设长,宽分别为a,b，则a*b=p
　　因为a+b≥2√(ab)，所以2(a+b)≥4√(ab)=4√p
　　周长最小值为4√p
　　例三 长方形的周长为p，求面积的最大值
　　解：设长,宽分别为a,b，则2(a+b)=p
　　因为a+b=p/2≥2√(ab)，所以ab≤p^2/16
　　面积最大值是p^2/16