自相关函数 发表评论(0) 编辑词条

　　自相关函数在不同的领域，定义不完全等效。在某些领域，自相关函数等同于自协方差(autocovariance)。 　　

       数学期望与方差分别为一维随机变量的一阶原点矩和二阶中心矩,虽然是常用的特征量,但它们描述的只是随机信号在各个时刻的统计特征,而不能反映出在不同时刻各数值之间的内在联系。

       自相关函数是用来表征一个随机过程本身,在任意两个不同时刻t1, t2的状态之间的相关程度,因而是内在联系的一种度量,必须利用t=t1,t2时的二维概率密度函数进行描述。为此定义实随机信号的相关函数为:
可见式(4.13)表示随机信号X(t)本身,在任意两个不同时刻t1, t2的取值X(t1)和 X(t2)之间的关联程度.当t1=t2=t,则有x1= x2=x，故得
上式说明X(t)的均方值是其自相关函数在t1=t2时的特例。

统计学 　　

R(k) = \frac{E[(X_i - \mu)(X_{i+k} - \mu)]}{\sigma^2} 　　

信号处理 　　

R_f(\tau) = f(\tau) * f^*(-\tau)= \int_{-\infty}^{\infty} f(t+\tau)f^*(t)\, dt = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)f^*(t-\tau)\, dt，其中“*”是卷积算符，(\cdot)^*为取共轭。 　　同一时间函数在瞬时t和t+a的两个值相乘积的平均值作为延迟时间t的函数，它是信号与延迟后信号之间相似性的度量。延迟时间为零时，则成为信号的均方值，此时它的值最大。

　　以下以一维自相关函数为例说明其性质，多维的情况可方便地从一维情况推广得到。 　　

对称性：从定义显然可以看出R(i) = R(−i)。连续型自相关函数为偶函数 　　

当f为实函数时，有： 　　

R_f(-\tau) = R_f(\tau)\, 　　

当f是复函数时，该自相关函数是厄米函数，满足：R_f(-\tau) = R_f^*(\tau)\, 其中星号表示共轭。 　　

连续型实自相关函数的峰值在原点取得，即对于任何延时 τ，均有 |R_f(\tau)| \leq R_f(0)。该结论可直接有柯西-施瓦兹不等式得到。离散型自相关函数亦有此结论。 　　

周期函数的自相关函数是具有与原函数相同周期的函数。两个相互无关的函数（即对于所有 τ，两函数的互相关均为0）之和的自相关函数等于各自自相关函数之和。由于自相关函数是一种特殊的互相关函数，所以它具有后者的所有性质。 　　连续时间白噪声信号的自相关函数是一个δ函数，在除 τ = 0 之外的所有点均为0。 　　维纳-辛钦定理（Wiener–Khinchin theorem）表明，自相关函数和功率谱密度函数是一对傅里叶变换对：R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) e^{j 2 \pi f \tau} \, df S(f) = \int_{-\infty}^\infty R(\tau) e^{- j 2 \pi f \tau} \, d\tau.

实值、对称的自相关函数具有实对称的变换函数，因此此时维纳-辛钦定理中的复指数项可以写成如下的余弦形式：R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty S(f) \cos(2 \pi f \tau) \, df 　　S(f) = \int_{-\infty}^\infty R(\tau) \cos(2 \pi f \tau) \, d\tau.

　　白噪声的自相关函数为δ函数： 　　

r_{nn} = \mathbb{E} \{ n(t) n(t-\tau) \} = \delta ( \tau )