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质量损失函数 发表评论(0) 编辑词条

1 成本相同的假定
       组装某种电源电路,需要一些原材料(如焊接材料等)、元器件。譬如需要某种型号的三级品的电阻。这种同一型号的三级品电阻,质量仍有好有坏。按质论价,价值应该不同。但通常买进的价格是一样的。利用这些原材料、元器件,加工成电源电路,每部的加工费(管理费、工资、能源的损耗、机器与厂房的磨损折旧、参观招待费等等)也不尽相同。因此,仔细追究起来,每部电源电路的成本是不全相同的。假若这个月组装了6000部电源电路,其材料费为233000元,加工费为7000元,则平均成本=40元/部
      每部电源电路的成本虽然不尽相同,但我们近似地假定它们的成本是相同的,是用了平均成本去作为每一部电源电路的成本。
      损失函数=质量损失函数+成本损失函数。既然成本被假定为相同,故总损失的大小取决于质量损失函数的高低。
2 质量损失函数及其近似表达式
      某种彩色电视机的电源电路,是要求把交流220伏的输入,变为直流100伏的输出。在成本相同的假定下,电源电路质量的好坏,除经久耐用之外,主要是要求直流输出能稳定在标准中心值100伏附近。越接近100伏,质量越好,所造成的损失越小;越离开100伏,质量越差,所造成的损失越大。
       一般地,随着产品指标值y(如上面的电源电路的直流输出电压)的变化,产品的质量所造成的损失q(y)也随着变化。
       在很多情况下,质量损失函数q(y)的曲线如图8.1那样,是中间低、两头高的。它在某一点M[m, q(m)]处最低(例如,上面电源电路中的m=100),即由质量造成的损失最小。y越偏离m,由质量造成的损失越大。

 

质量损失函数质量损失函数


曲线q(y)在y=m的附近,曲线弧AB可以用割线AB代替,而割线的极限状态是曲线有点M处的切线CD。当y1、y2越接近m时,三种线(曲线、割线、切线)越相互靠近,用切线(一次式)来代替曲线的近似其近似程度就越好;当y1、y2离m稍远时,这种用切线来代替曲线的近似其近似程度就可能不好了。这时可以用通过三点A、M、B的二次曲线来近似代替(参看图8.2)。用二次曲线代替曲线q(y)比用切线代替的范围可以扩大一些,即可以离开点M更远一些。当然,如果离开点M太远,就是用二次曲线来代替,近似程度有时候也是不好的。

质量损失函数质量损失函数


下面用数学推导把这个现象再说明一遍。假定q(y)在y=m处存在二阶导数,则按泰勒公式有:

q(y)=q(m)+ q’(m)(y-m)/1!+ q’’(m)(y-m)2/2!+o[(y-m)2] (1)

由于q(y)在y=m处取极小值,所以有q’(m)=0. 故
q(y)=q(m)+ k(y-m)2 (2)
其中k=q’’(m)/21是不依赖于y的常数。即质量损失函数在y=m附近近似地等于一条抛物线(二次函数)。 令 Q(y)=q(y)-q(m),

得 Q(y)=k(y-m)2 (3)

Q(y)和q(y)仅相差一个常数q(m),不影响对于不同的y值,损失大小的相对比较。Q(y)也称作质量损失函数。今后,对于不同的y值,我们用Q(y)的近似表达式k(y-m)2来比较损失的大小。
当生产一件产品,其指标为y时,其相对的质量损失由Q(y)=k(y-m)2来计算。当产品不只一件时,我们记E[(y-m)2]=V,称V为偏差均方。每件产品的平均损失由Q=kV来计算。其中特别当E(y)=m时,则√V 为标准差。

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