随机积分 发表评论(0) 编辑词条

概念简介

　　随机分析（Stochastic Analysis）主要研究现代随机积分和随机微分方程。现代鞅论是随机积分的基础，它的内容主要的有测度论的条件期望、连续时间鞅、停时过程、可选过程、可料过程、测度的投影、截口定理、半鞅的Doob-Meyer分解、可变变差鞅、平方可积鞅、局部鞅等。然后从可料过程对L2鞅的随机积分开始，逐步深入到对一般适应过程的随机积分。Ito引理、Ito公式、Girsanov定理、Brown局部鞅的随机积分表示、半鞅局部时是随机分析的重要工具。其中，Girsanov定理给出的测度数变换在现代数理金融学中有重要的意义。随机微分方程的强解和弱解问题、解一类随机微分方程等也是随机分析的主要内容。

伊藤积分

　　这是对布朗运动定义的一种随机积分。布朗运动的样本函数虽然连续，但几乎所有的样本函数非有界变 差，甚至处处不可微，因而无法按样本函数来定义通常的黎曼－斯蒂尔杰斯积分（简称RS积分）或勒贝格-斯蒂尔杰斯积分（简称LS积分）。一般来说,RS积分定义中的达布和不会以概率1收敛到一定的极限,但在适当的条件下，达布和的均方极限存在。伊藤清正是利用这一性质定义了对布朗运动的随机积分。设（公式1）t∈R+= 【0,∞)}是一族上升的子σ域,布朗运动W＝{W(t),t∈R+} 是鞅。如果样本连续的有界随机过程φ＝{φ(t),t∈R+}是适应的，那么当有限区间【α,b】嶅R+的分割随机积分 的直径 （公式2）趋于零时，达布和 （公式3）的均方极限存在，记作随机积分,它称为φ在区间【α,b】上对W 的伊藤积分。值得注意的是,在达布和的构造中,被积过程在【tk-1,tk】上的取值点不是随意一点,而只能是它的左端点 tk-1。这是一个严格的限制。完全不加限制时其极限不存在，如作其他的限制，则可能得到另外的极限，从而定义出另外的积分，但最有用的是这种限制。伊藤积分最重要的性质是著名的伊藤公式:设F是二次连续可微的实函数，则 这一公式及其各种推广在理论上和应用上都有重要的作用。例如，可以用来 证明关于布朗运动的鞅刻画的莱维定理：一个从零出发的样本连续过程W={W(t),t∈R+} 为布朗运动的充要条件,是W 和{W 2(t)-t,t∈R+} 都为鞅。

对平方可积鞅的随机积分

　　使E（公式5）的鞅x＝{x(t),t∈R+} 称为平方可积鞅，其中x(∞)是当t→∞时，x(t)以概率1 收 敛的极限。对一个平方可积鞅x, -x2是类(D)上鞅，因此根据上鞅分解定理,x 2可唯一地表成一致可积鞅M和可料增过程A 之和, X 2(t)＝M(t)+A(t)。由此，对任何样本连续的有界适应过程 φ，当［α，b)］的分割的直径δ(墹)趋于零时，达布和随机积分的均方极限存在,这个极限就 称为φ 在【α,b)】上对x的（公式6）。这种积分也有相应的伊藤公式：对二次连续可微的函数F，（公式7） 　　右边最后一项是按轨道的LS积分,可料增过程A的轨道是右连续增函数。这种随机积分还可以进一步推广到对局部鞅以至半鞅的积分。

斯特拉托诺维奇积分

　　在伊藤积分定义的达布和中，如果用在小区间【tk-1,tk】中点的被积过程值φ(或者等价地， 用在两个 区间端点的过程值的算术平均代替左端点的过程值φ(tk-1)，则均方极限也存在,但此极限与伊藤积分不相同,它定义了用斯特拉托诺维奇命名的另一种积分，记作（公式8）这种积分的一个优点是，对一个三次连续可微的函数F，（公式9） 　　它保持了普通微积分中牛顿-莱布尼茨公式的形式。

其他类型的随机积分

　　常见的还有均方（公式10）和对正交增量过程的积分。对一个均方连续的随机过程x，即对一切t 0∈R+满足随机积分的x，达布和的均方极限存在，它定义了x在区间【α,b)】上的均方,记作其中是【α,b】的分割，sk可在【tk-1,tk】上任取,均方极限是在δ(墹) 趋于零的条件下取的。设Z 是一个正交增量过程,即对一切那么对任一［α，b］上的连续函数ƒ，达布和的均方极限定义了ƒ在［α,b］上对Z的积分，记作。这种对正交增量过程积分的最重要的应用是宽平稳过程的谱表示（见平稳过程）。

随机微分方程

　　形如方程称为伊藤方程,其中α(s,x)、σ(s,x) 是一次连续可微的二元函数,W是布朗运动,X是待求的 半鞅。由于形式上还可以将方程改写为 dx（t）＝α(t,x(t))dt+σ(t,x(t))dW(t) 这种微分表示,习惯上常称为(伊藤)随机微分方程。理论上对它已有很多研究，解的存在唯一性问题已经解决,并且有各种形式的推广,如用半鞅代替布朗运动等。但能把解明确表达出来的还只有少数简单的特例，如对x(0)=1,α(s,x)呏0，σ(s,x) 呏x,方程（公式11）有唯一解（公式12） 它是一个样本连续鞅。 　　此外，对于均值函数为零的实二阶过程x(见随机过程),可定义其各阶均方导数。若x的协方差函数 Г(s,t)＝Ex(s)x(t) 二次连续可微，则差商【x(t+Δt)-x(t)】/Δt当 Δt→0 时的均方极限总存在，它定义了x的一阶均方导数随机积分。一般地，若 Г(s,t)2n次连续可微，则x的n阶均方导数存在。联系着一个二阶过程x及其各阶均方导数之间的方程，如（公式13） 等，称为均方随机微分方程。求解它，就是要找出满足该关系式的二阶过程x。例如（公式14 ）在初值x(0)=ξ下的唯一解是（公式15）其中α是实常数，ξ为已知的随机变量，Y为已知的均方连续随机过程，而积分是均方随机积分。