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随机积分 发表评论(0) 编辑词条

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概念简介 伊藤积分 对平方可积鞅的随机积分 斯特拉托诺维奇积分 其他类型的随机积分 随机微分方程 参考书目 bk.view.catalog.start();nslog.set("catalogshow",1);


概念简介

  随机分析(Stochastic Analysis)主要研究现代随机积分和随机微分方程。现代鞅论是随机积分的基础,它的内容主要的有测度论的条件期望、连续时间鞅、停时过程、可选过程、可料过程、测度的投影、截口定理、半鞅的Doob-Meyer分解、可变变差鞅、平方可积鞅、局部鞅等。然后从可料过程对L2鞅的随机积分开始,逐步深入到对一般适应过程的随机积分。Ito引理、Ito公式、Girsanov定理、Brown局部鞅的随机积分表示、半鞅局部时是随机分析的重要工具。其中,Girsanov定理给出的测度数变换在现代数理金融学中有重要的意义。随机微分方程的强解和弱解问题、解一类随机微分方程等也是随机分析的主要内容。


伊藤积分

  这是对布朗运动定义的一种随机积分。布朗运动的样本函数虽然连续,但几乎所有的样本函数非有界变 差,甚至处处不可微,因而无法按样本函数来定义通常的黎曼-斯蒂尔杰斯积分(简称RS积分)或勒贝格-斯蒂尔杰斯积分(简称LS积分)。一般来说,RS积分定义中的达布和不会以概率1收敛到一定的极限,但在适当的条件下,达布和的均方极限存在。伊藤清正是利用这一性质定义了对布朗运动的随机积分。设(公式1)t∈R+= 【0,∞)}是一族上升的子σ域,布朗运动W={W(t),t∈R+} 是鞅。如果样本连续的有界随机过程φ={φ(t),t∈R+}是适应的,那么当有限区间【α,b】嶅R+的分割随机积分 的直径 (公式2)趋于零时,达布和 (公式3)的均方极限存在,记作随机积分,它称为φ在区间【α,b】上对W 的伊藤积分。值得注意的是,在达布和的构造中,被积过程在【tk-1,tk】上的取值点不是随意一点,而只能是它的左端点 tk-1。这是一个严格的限制。完全不加限制时其极限不存在,如作其他的限制,则可能得到另外的极限,从而定义出另外的积分,但最有用的是这种限制。伊藤积分最重要的性质是著名的伊藤公式:设F是二次连续可微的实函数,则 这一公式及其各种推广在理论上和应用上都有重要的作用。例如,可以用来 证明关于布朗运动的鞅刻画的莱维定理:一个从零出发的样本连续过程W={W(t),t∈R+} 为布朗运动的充要条件,是W 和{W 2(t)-t,t∈R+} 都为鞅。


对平方可积鞅的随机积分

  使E(公式5)的鞅x={x(t),t∈R+} 称为平方可积鞅,其中x(∞)是当t→∞时,x(t)以概率1 收 敛的极限。对一个平方可积鞅x, -x2是类(D)上鞅,因此根据上鞅分解定理,x 2可唯一地表成一致可积鞅M和可料增过程A 之和, X 2(t)=M(t)+A(t)。由此,对任何样本连续的有界适应过程 φ,当[α,b)]的分割的直径δ(墹)趋于零时,达布和随机积分的均方极限存在,这个极限就 称为φ 在【α,b)】上对x的(公式6)。这种积分也有相应的伊藤公式:对二次连续可微的函数F,(公式7)   右边最后一项是按轨道的LS积分,可料增过程A的轨道是右连续增函数。这种随机积分还可以进一步推广到对局部鞅以至半鞅的积分。


斯特拉托诺维奇积分

  在伊藤积分定义的达布和中,如果用在小区间【tk-1,tk】中点的被积过程值φ(或者等价地, 用在两个 区间端点的过程值的算术平均代替左端点的过程值φ(tk-1),则均方极限也存在,但此极限与伊藤积分不相同,它定义了用斯特拉托诺维奇命名的另一种积分,记作(公式8)这种积分的一个优点是,对一个三次连续可微的函数F,(公式9)   它保持了普通微积分中牛顿-莱布尼茨公式的形式。


其他类型的随机积分

  常见的还有均方(公式10)和对正交增量过程的积分。对一个均方连续的随机过程x,即对一切t 0∈R+满足随机积分的x,达布和的均方极限存在,它定义了x在区间【α,b)】上的均方,记作其中是【α,b】的分割,sk可在【tk-1,tk】上任取,均方极限是在δ(墹) 趋于零的条件下取的。设Z 是一个正交增量过程,即对一切那么对任一[α,b]上的连续函数ƒ,达布和的均方极限定义了ƒ在[α,b]上对Z的积分,记作。这种对正交增量过程积分的最重要的应用是宽平稳过程的谱表示(见平稳过程)。


随机微分方程

  形如方程称为伊藤方程,其中α(s,x)、σ(s,x) 是一次连续可微的二元函数,W是布朗运动,X是待求的 半鞅。由于形式上还可以将方程改写为 dx(t)=α(t,x(t))dt+σ(t,x(t))dW(t) 这种微分表示,习惯上常称为(伊藤)随机微分方程。理论上对它已有很多研究,解的存在唯一性问题已经解决,并且有各种形式的推广,如用半鞅代替布朗运动等。但能把解明确表达出来的还只有少数简单的特例,如对x(0)=1,α(s,x)呏0,σ(s,x) 呏x,方程(公式11)有唯一解(公式12) 它是一个样本连续鞅。   此外,对于均值函数为零的实二阶过程x(见随机过程),可定义其各阶均方导数。若x的协方差函数 Г(s,t)=Ex(s)x(t) 二次连续可微,则差商【x(t+Δt)-x(t)】/Δt当 Δt→0 时的均方极限总存在,它定义了x的一阶均方导数随机积分。一般地,若 Г(s,t)2n次连续可微,则x的n阶均方导数存在。联系着一个二阶过程x及其各阶均方导数之间的方程,如(公式13) 等,称为均方随机微分方程。求解它,就是要找出满足该关系式的二阶过程x。例如(公式14 )在初值x(0)=ξ下的唯一解是(公式15)其中α是实常数,ξ为已知的随机变量,Y为已知的均方连续随机过程,而积分是均方随机积分。


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