分形市场假说8 发表评论(0) 编辑词条

7、高斯假说和正态分布的现实失效
　　 　“我们已多次地阐述过，正态分布不适合描述市场收益。到目前为止，我们还没特别强调过应该由什么来替代它。我们会提出一个很多读者不喜欢的建议。首先，我们必须重新考察高斯假说广泛地被人们接受的原因（市场运行是非常随机的并被正态分布很好地描述）。
　　 “正态分布有许多诱人的特性。它的性质已被充分地研究过了。它的分散测度极易理解。在过程都为随机的假定下，大量实际应用已被公式化，且只能被正态分布所描述。许多这样例子的群体，确实是随机的。暂时，它似乎像是：正态分布能够描述任何以复杂为特征的情形。
　　
　　　　“……显然，Francis Galton是Plato的信徒，他真正信奉‘真’的造物。对他和大多数数学家来说，正态分布是无秩序之上的最终有序，并且是非常正当的最终要求。他研究了许多组并演示了它们，证明其呈现正态分布，从有用的（生命历程）到滑稽的（打哈欠的频率）。不幸的是，有许许多多的过程不呈现正态分布。哪怕系统呈现无上的复杂性，‘无由无上法则’也并不经常保持其统治地位。
　　　　　“它失败的原因在于它的假定。Gauss显示过，独立同分布的随机变量系列的极限分布是正态分布。这就是著名的大数法则，或更为正式一些的叫法是，中心极限定理。正是由于Gauss的方程，我们才倾向把这些过程称高斯过程（Gaussian）。然而，也有与大数法则不相符的情况。特别是有些例子，放大在极值上产生的。发生了这种情形常带出一个长尾的分布。
　　　　“例如，Pareto（1897），他是一位经济学家，他发现，占总体97%的个人的收入分布接近对数正态分布。然而，对于最后的3%，被发现增加迅速。未必某个人将活得多于生命预期平均数的5倍，可是对于某个人5次多于平均值的财富未必不可能。”（P187-188）
　
　　8、市场：无限方差与无限均值
　　 　　　　“对于那些在标准高斯统计里被训练的人来说，无限的均值或方差从理念听上去荒唐而又不正当。我们总能计算出一个样本的方差或均值。它如何变成无限的呢？我们又要对所有的情况应用高斯统计这一特殊情形了。在稳定分布的大家庭里，正态分布是一个当α=2.0时存在的特例。此时，总体均值与方差确实存在。所谓无限方差是指，当分布趋向于极限时，就不存在‘总体方差’。当我们取一个样本方差时，我们就这样做，利用高斯假定作为未知总体方差的估计。Sharpe（1863）说过，贝塔[在现代资产组合理论（MPT）的意义上]从5年的每月数据应该能够被计算出来。他选择5年是因为，它给出了必须估计总体方差的统计上显著的样本方差。仅仅因为基础分布是高斯的，所以5年是统计上显著的。假如它不是高斯的，而且α＜2.0，那么，这个样本方差就说明不了总体方差，这是因为，此时没有总体方差。样本方差被预期是不稳定的且不趋向任何数值，甚至当样本容量增加时也做不到。假如α≤1.0，同样可应用于均值，而均值在极限里也不存在。”（P190）
　　
　　　　“当我指出，市场被无限方差所特征化，并不是说方差真是无限的。如同所有的分形结构，最终有一个分形规模变化停止应用的时间框架。在前几章里我讲过，树是分形结构。我们知道，树枝并不是呈现无限的小。这就像对市场收益，存在一个方差确为有限的样本容量。然而，我们在这里可以看到，在100年的日数据之后，标准差仍没收敛。因此，为完全实用的目的，市场收益将亦如它们是无限方差分布而运转。至少我们能断言，在我们的有生之年，它们都将表现得似乎是无限方差。”（P193）