老虎悖论 发表评论(0) 编辑词条

　　老虎悖论——博弈论中一个著名的逻辑悖论。

　　国王要处决一个囚犯，但给他一个生还的机会。囚犯被带到5扇紧闭的门前，其中一扇后面关着一只老虎。国王对囚犯说：“你必须依次打开这些门。我可以肯定的是，在你没有打开关着老虎的那扇门之前，你是无法知道老虎是在那扇门后。”显然，如果囚犯有可能在打开有老虎的那扇门前知道，就证明国王在撒谎，那么就可以活命。 开门之前，囚犯进行了如下分析：

　　假如老虎在第五扇门，那当他把前四扇门打开后都没发现老虎，那他肯定猜到老虎在第五扇门中，因国王说过不论何时他也料不到老虎在哪扇门后，那国王的说话就错了。因此，老虎肯定不在第五扇门中。

　　同样道理，老虎也不在第四道门中，否则囚犯打开三道门后，只剩两道门，老虎既不在第五扇门后，那就会给他料到在第四扇门后；

　　依次类推，老虎不存在任何一道门后；囚犯这时就不再多想，冒冒失失依次推门，结果老虎从第二扇门中跳了出来，把囚犯咬死了。国王看见了说：“不是跟你说了老虎在哪扇门后总是出乎你的意料了吗？现在你就是意料不到了。”

　　如果囚犯的推理成立，那么就算国王把老虎放在第五扇门后，也是“料想不到”，学者们争论的重点在于：这个推理究竟错在第几步？

主张错在第一步

　　如果第一步是正确的，那么后面几步为什么是错的？所以第一步就错了。错在囚犯把国王的思路作为论据。

　　首先必须定义怎样算国王所谓的“知道”(或“意料”)，如果投机猜测算的话，那国王不论怎样放都不能保证不被猜中，所以带投机成分的猜测不能算“ 知道”（国王为了自身利益也会这么定义），设“知道”定义为“在即有事实下的逻辑推理”，那么囚犯不仅要正确预测老虎，还要对其预测给出严格的逻辑证明才行。本例中不考虑没有老虎的情况，即囚犯已知必有1老虎。作为囚犯，他在每次打开一个门前都会进行逻辑推理，如果能推出老虎是在即将打开的门里就赢了，如果不能推出，他就只能打开这个门，如果打开后没有老虎就继续推理下一个门是否有老虎，依此类推。

　　然后，把问题从5个门简化为只有2个门，囚犯会在打开第一个门之前，对第一个门里是否有老虎做逻辑推理：由于囚犯要引用国王的思路，故须先考虑国王思路是否是会错。

　　（1）如果相信国王是不会错的，那么你不可能推测出第一个门里有没有，因为如果推测出就说明国王会错，所以在这个前提下不可能知道。 囚犯无法推测出第一个门里有没有老虎，必然要打开第一个门。

　　（2）如果相信国王是会错的：囚犯首先认为国王放第二个门是错的，但国王既然是会错的，他为何不会按囚犯认为错误的思路放第二个门呢？所以国王的思路就没法唯一的推测了。囚犯失去国王的思路做论据，无法推测出第一个门里有没有老虎，必然要打开第一个门。

　　因此国王应且只应放到第一个门中，则国王必胜。

　　推广到n个门的情况，只要只要国王不把老虎放到最后一个门，则国王必胜，囚犯必败。

主张错在第二步

　　故事中的囚犯最后决定相信“没有老虎”。但，国王并不知道囚犯是否会这样，所以的确不可能把老虎放在第五扇门。如果囚犯决定相信“一定有老虎”，那么在前四扇门都没有老虎之后，第五扇门后的老虎的确就变成“可预料的”了。

　　既然老虎在第五扇门的话，它一定是“可预料的”，那么当你已经开了三扇空门时，情况是怎么样？我们可以试着写成逻辑式子：前提一、老虎不可预料。前提二、老虎如果在第五扇门时，可预料。前提三、老虎不在第五扇门时，就一定在第四扇门。前提四、老虎如果在第四扇门时，可预料。结论：前提互相矛盾。

　　请注意：这时的逻辑推理中，既然前提互相矛盾，必定有一个以上不成立，那么可能性就是以下四个其中之一、或是更多：

• 一、老虎可预料。

• 二、老虎如果在第五扇门时，不可预料。

• 三、老虎不在第五扇门时，也不一定在第四扇门。

• 四、老虎如果在第四扇门时，不可预料。

　　二和四自身是矛盾命题，不考虑，三会导致老虎变成薛定谔的猫，也就是既存在亦非存在的状态（囚犯把老虎往前门推是错误的，因为前提中包含“已经开了三扇空门”）。所以可能性只有一个：老虎可预料。但若老虎可预料，那么显示国王说谎，如果国王可能说谎，那么老虎也真的有可能消失。

　　这时的正确结论是：国王一定说谎，但他的谎言可能是“老虎可预料”，却也可能是“根本没老虎”，囚犯只是偏心于一个可能性，结果帮国王圆谎罢了。

主张错在最后一步

　　如果“不可预料”并不是一种保证，而只意味“高机率”，“有老虎”才是保证，那么情况又整个改观。可以列成以下状况：

　　如果囚犯连猜五次“老虎不在”，则不可预料率100%，当然是最糟的状况。

　　如果囚犯连猜五次“老虎在”，这时应将不可预料率一样视为100%。假设国王随便放，因为平均猜错次数是两次，亦即猜错一次要加不可预料率50%才公平。

　　假设国王随便放，这时囚犯采用的策略，以：

• 先两次不猜，再连续猜老虎在：成功率0、0、100、50、0，平均30最高分

• 先三次不猜，再连续猜老虎在：成功率0、0、0、100、50，平均也是30最高分

• 但以上两种高分解，前两扇门都是安全门，必须混合下列解答灵活运用

• 如果第一次就猜老虎在：成功率100、-50、-50、50、0，平均只有10分

• 如果第二次就猜老虎在：成功率0、100、50、0、-50，平均也有20分

• 为了便于计算，假设这四种策略囚犯都平均运用，综合以上，老虎放在不同门的平均不可预料率，75%、87.5%、75%、50%、100%

　　很明显了，这时国王的对应策略，如果把老虎放在失分最低的第五扇门，可能被囚犯豪赌赌中，所以把老虎放在失分次低的第二扇门会是最佳选择，只要把囚犯的猜中率压在20%以下，都可以毫无愧色说是有很高的不可预料率。

　　他应该从“老虎不存在”这个矛盾的结论，导出国王所谓的“不可预料”其实是指机率，再从机率上推测国王到底把老虎放在第几个门。

　　老师宣布下星期一至星期五其中一日之中，会有一天举行突击测验。学生认为根本不存在突击测验。若假设直到星期四还未举行测验，那么星期五就会举行，那就不算突击，因此星期五不会举行。若星期三还未举行，而星期五又不会举行，星期四就会举行……如此类推，老师不可能进行突击测验。