傅里叶级数 发表评论(0) 编辑词条

傅里叶级数

　　傅里叶级数
　　Fourier series
　　一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯 - 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。
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　　傅里叶级数的公式
　　给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数：
　　x(t)=\sum _{k=-\infty}^{+\infty}a_k\cdot e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}（j为虚数单位）（1）
　　其中，a_k可以按下式计算：
　　a_k=\frac{1}{T}\int_{T}x(t)\cdot e^{-jk(\frac{2\pi}{T})t}（2）
　　注意到f_k(t)=e^{jk(\frac{2\pi}{T})t}是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，$k=\backslash pm\; 1时具有基波频率\backslash omega\_0=\backslash frac\{2\backslash pi\}\{T\}$，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。
　　傅里叶级数的收敛性
　　傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：
　　在任何周期内，x(t)须绝对可积；
　　在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；
　　在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。
　　吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。
　　三角函数族的正交性
　　所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是：
　　\int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\cos (mx) \,dx=0;
　　\int _{0}^{2\pi}\sin (mx)\sin (mx) \,dx=0;(m\ne n)
　　\int _{0}^{2\pi}\cos (mx)\cos (mx) \,dx=0;(m\ne n)
　　\int _{0}^{2\pi}\sin (nx)\sin (nx) \,dx=\pi;
　　\int _{0}^{2\pi}\cos (nx)\cos (nx) \,dx=\pi;
　　奇函数和偶函数
　　奇函数f_o(x)可以表示为正弦级数，而偶函数$f\_e(x)则可以表示成余弦级数：$
　　f_o(x) = \sum _{-\infty}^{+\infty}b_k \sin(kx);
　　f_e(x) = \frac{a_0}{2}+\sum _{-\infty}^{+\infty}a_k\cos(kx); 只要注意到欧拉公式: $e^\{j\backslash theta\}=\; \backslash sin\; \backslash theta+j\backslash cos\; \backslash theta，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。$
　　广义傅里叶级数
　　任何正交函数系\{ \phi(x)\}，如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x)满足封闭性方程：
　　\int _{a}^{b}f^2(x)\,dx=\sum _{k=1}^{\infty}c^{2}_{k} (4)，
　　那么级数\sum _{k=1}^{\infty} c_k\phi _k(x) (5) 必然收敛于f(x)，其中:
　　c_n=\int _{a}^{b}f(x)\phi_n(x)\,dx (6)。
　　事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有：
　　\int _{a}^{b}f^2(x)\,dx \ge \sum _{k=1}^{\infty}c^{2}_{k}成立，这称作贝塞尔(Bessel)不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基$\backslash \{e\_i\backslash \}^\{N\}\_\{i=1\}，向量x在e\_i$上的投影总为 。