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初等数论 发表评论(0) 编辑词条

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理论概述 编辑本段回目录


  初等数论 是研究数的规律,特别是整数性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法,主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。 换言之,初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。另外还有解析数论(用解析的方法研究数论。)、代数数论(用代数结构的方法研究数论)。

历史发展 编辑本段回目录

  古希腊毕达哥拉斯是初等数论的先驱。他与他的学派致力于一些特殊整数(如亲和数、完全数、多边形数)及特殊不定方程的研究。公元前4世纪,欧几里德的《几何原本》通过102个命题,初步建立了整数的整除理论。他关于“素数有无穷多个”的证明,被认为是数学证明的典范。
  初等数论已经有2000年的历史,公元前300年,欧几里得发现了素数是数论的基石,他自己证明了有无穷多个素数。公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法。2000年来,数论学的一个最重要的任务,就是寻找一个可以表示所有素数的统一公式,或者称为素数普遍公式,为此,人类耗费了巨大的心血。後来发现埃拉托塞尼筛法可以转换成为一个素数产生的公式:
  公元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法:
  (一)“要得到不大于某个自然数N的所有素数,只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。
  (二)将上面的内容等价转换:“如果N是合数,则它有一个因子d满足1  (三)再将(二)的内容等价转换:“若自然数N不能被不大于(根号)√N的任何素数整除,则N是一个素数”。见(代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页)。
  (四)这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式:
  N=p1m1+a1=p2m2+a2=......=pkmk+ak 。(1)
  其中 p1,p2,.....,pk表示顺序素数2,3,5,,,,,。a≠0。即N不能是2m+0,3m+0,5m+0,...,pkm+0形。若N  (五)可以把(1)等价转换成为用同余式组表示:
  N≡a1(modp1), N≡a2(modp2),.....,N≡ak(modpk)。 (2)
  例如,29,29不能够被根号29以下的任何素数2,3,5整除,29=2x14+1=3x9+2=5x5+4。 29≡1(mod2),29≡2(mod3), 29≡4(mod5)。29小于7的平方49,所以29是一个素数。
  以后平方用“*”表示,即:㎡=m*。
  由于(2)的模p1,p2,....,pk 两两互素,根据孙子定理(中国剩余定理)知,(2)在p1p2.....pk范围内有唯一解。
  例如k=1时,N=2m+1,解得N=3,5,7。求得了(3,3*)区间的全部素数。
  k=2时,N=2m+1=3m+1,解得N=7,13,19; N=2m+1=3m+2,解得N=5,11,17,23。求得了(5,5*)区间的全部素数。
  k=3时,
  ---------------------| 5m+1-|- 5m+2-| 5m+3,| 5m+4.|
  ---------------------|---------|----------|--------|---------|
  n=2m+1=3m+1= |--31----|--7, 37-|-13,43|--19----|
  n=2m+1=3m+2= |-11,41-|-17,47-|--23---|---29---|
  ------------------------------------------------------------
  求得了(7,7*)区间的全部素数。仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。
  公元3世纪,丢番图研究了若干不定方程,并分别设计巧妙解法,故后人称不定方程为丢番图方程。17世纪以来,P.de费马、L.欧拉、C.F.高斯 等人的工作大大丰富和发展了初等数论的内容。
  中国古代对初等数论的研究有着光辉的成就,《周髀算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《数书九章》等古文献上都有记载。孙子定理比欧洲早500年, 西方常称此定理为中国剩余定理,秦九韶的大衍求一术也驰名世界。初等数论不仅是研究纯数学的基础,也是许多学科的重要工具。它的应用是多方面的,如计算机科学、组合数学、密码学、信息论等。如公开密钥体制的提出是数论在密码学中的重要应用。
  

初等数论内容 编辑本段回目录

  初等数论有以下几部分内容。
  1. 整除理论。 引入整除、因数、倍数、质数等基本概念。 这一理论的主要成果有: 欧几里德 的辗转相除法、算术基本定理、素数个数无限证明。
  2.同余理论。 主要出自于高斯的《算术研究》内容。 定义了同余、原根、指数、平方剩余 、 同余方程等概念。 主要成果: 二次互反律、欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理、孙子定理(即中国剩余定理)等等。
  3. 连分数理论。 引入了连分数概念和算法等等。 特别是研究了整数平方根的连分数展开。 主要成果: 循环连分数展开、最佳逼近问题、佩尔方程求解。
  4. 不定方程。 主要研究了低次代数曲线对应的不定方程, 比如勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解。也包括了4次费马方程的求解问题等等。
  5. 数论函数。 比如欧拉函数、莫比乌斯变换等等。

代表人物 编辑本段回目录


  1. 费马
  费马在古典数论领域中的成果很多,比如提出了不定方程无解证明的无穷递降法, 引入了费马数等等。
  与费马名字相关的著名结论如下:
  费马小定理:a^p-a≡0(mod p),其中p是一个素数,a是正整数。
  事实上它是欧拉定理的一个特殊情况,Euler定理是说:a^φ(n)-1≡0(mod n),a,n都是正整数,φ(n)是Euler函数,表示和n互素的小于n的正整数的个数。
  费马大定理(当时是猜想):n>2是整数,则方程x^n+y^n=z^n没有满足xyz≠0的整数解。这个是不定方程,它已经由美国数学家外尔斯证明了(1995年),证明的过程相当艰深。
  2.欧拉. 引入欧拉函数, 得到著名的欧拉定理--费马小定理推广; 研究了连分数展开问题;用解析方法证明了素数无限;讨论平方和问题及哥德巴赫猜想--加性数论内容。
  3.高斯.,被誉为“数学王子” 。解决了正多边形尺规作图问题, 将它和费马数联系起来。高斯的著作《算术研究》提出了同余理论, 讨论了平方剩余问题,发现了二次互反律。 高斯提出了著名的素数定理(当时是猜想),研究了指标和估计问题---表示论的雏形。
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