泊松过程 发表评论(0) 编辑词条

泊松过程　　

    一种累计随机事件发生次数的最基本的独立增量过程。例如随着时间增长累计某电话交换台收到的呼唤次数,就构成一个泊松过程。用数学语言说,满足下列三条件的随机过程X={X(t),t≥0}叫做泊松过程。①P(X(0)=0)=1。②不相交区间上增量相互独立，即对一切0≤t1s)的概率分布为泊松分布,即，式中Λ(t)为非降非负函数。若X还满足④X(t)-X(s)的分布仅依赖于t-s，则称X为齐次泊松过程；这时Λ(t)=λt，式中常数λ>0称为过程的强度，因为EX(t)=Λ(t)=λt,λ等于单位时间内事件的平均发生次数。非齐次泊松过程可通过时间尺度的变换变为齐次泊松过程。对泊松过程,通常可取它的每个样本函数都是跃度为1的左(或右)连续阶梯函数。可以证明，样本函数具有这一性质的、随机连续的独立增量过程必是泊松过程，因而泊松过程是描写随机事件累计发生次数的基本数学模型之一。直观上,只要随机事件在不相交时间区间是独立发生的,而且在充分小的区间上最多只发生一次，它们的累计次数就是一个泊松过程。在应用中很多场合都近似地满足这些条件。例如某系统在时段【0,t)内产生故障的次数,一真空管在加热t秒后阴极发射的电子总数,都可假定为泊松过程。1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用了这一过程，后来Α.Я.辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发展了它。
　　齐次泊松过程的特征 描述随机事件累计发生次数的过程通常称为计数过程（见点过程）。一个简单而且局部有限的计数过程｛X(t)，t≥0｝，往往也可以用它依次发生跳跃(即发生随机事件)的时刻{Tn，n≥1}来规定，即取T0=0，Tn＝inf{t:X(t)≥n}，n≥1，而当Tn　　泊松过程的推广 较泊松过程稍为广泛的计数过程是更新过程，更新过程的跳跃时间间距是相互独立同分布的，但不一定是指数分布。这类过程常被用来描写某些设备的累计故障次数。若对跳跃时间间距不作任何假定，就成为一般的计数过程或称一维点过程。假如某设备在【0，t)时段内故障的累计次数N(t)是泊松过程，而每次故障造成的耗损不尽相同,用随机变量Yi表示第i次耗损，则在【0,t)内总的耗损为。当{N(t)，t≥0}为齐次泊松过程，{Yi,i≥1}又是相互独立同分布且与｛N(t)｝独立时,X=｛X(t)，t≥0｝称为复合泊松过程。由于{N(t),t≥0}可以用其跳跃时刻{Ti,i≥1}来规定,因而复合泊松过程可用{(TnYn),n≥1}来规定,即。若对{(Tn,Yn),n≥1}的统计特性不作任何假定，这样规定的X 便是一种一般地描述系统跳跃变化的随机过程，常称为标值点过程，也称多变点过程或跳跃过程。
　　泊松过程除作为计数过程的一种重要数学模型外，又是众多重要随机过程的特例。独立增量过程的莱维－伊藤分解表明,利用它还可构成一般的独立增量过程,因而它在随机过程中占有特殊地位，也有人把它与布朗运动一起称之为随机过程的基石。