超几何分布 发表评论(0) 编辑词条

超几何分布

　　超几何分布的引出：
　　产品抽样检查中经常遇到一类实际问题，假定在N件产品中有M件不合格品，即不合格率p=M/N.在产品中随机抽n件做检查，发现X件是不合格品，可知X的概率函数为P(X=k)=C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N),k=max{0,n-N+m},...,min{n,M}通常称这个随机变量X服从超几何分布。这种抽样检查方法等于无放回抽样。数学上不难证明，当M=Np时，n-无穷，limC(k,M)*C(n-k,N-M)/C(M,N)=B(n,p) (二项分布）因此，在实际应用时，只要N>=10n，可用二项分布近似描述不合格品个数。
　　也就是已经知道某个事件的发生概率，判断从中取出一个小样本，该事件以某一个机率出现的概率问题。
　　具体一点实际的例子：假设细胞中有某种现象以90%的几率在发生着，被我们的三次实验抓到三次的几率是多大呢？不过可惜的是我们往往不能知道某个事件发生的先验的概率。不过至少可以拿来做假设检验吧。
　　超几何分布定义：
　　在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k
　　则P(X=k)=（见图片）
　　此时我们称随机变量X服从超几何分布
　　1）超几何分布的模型是不放回抽样
　　2）超几何分布中的参数是M,N,n
　　上述超几何分布记作X~H(n，M，N)。
　　应用
　　例：在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？
　　解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型。
　　其中N = 30. M = 10. n = 5.
　　P(一等奖) = P(X=4 or 5) = P(X=4) + P(X=5)
　　由公式P(X=k)=C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N),k=0,1,2,...得：
　　P(X=4) = C(4,10)*C(1,20)/C(5,30)
　　P(X=5) = C(5,10)*C(0,20)/C(5,30)
　　P(一等奖) = 106/3393
　　超几何分布的均值：
　　对X~H(n，M，N)，E(x)=nM/N
　　超几何分布的方差：
　　对X~H(n，M，N)，D(X)=nM(N-M)(N-n)/[(N^2)(N-1)]
　　补充一个ASP的计算程序,估计明白计算机语言的大家都能看明白：已经去掉了大数阶乘一出的问题。。。
　　<%
　　function HYPGEOMDIST(kkk,n,MM,NN) '超几何分布计算函数
　　for k=kkk to n
　　AA=1
　　BBA=1
　　BBB=1
　　lll=n
　　for i= 0 to k-1
　　BBA=BBA*(MM-i)/(NN-i)
　　next
　　for j= k to n
　　BBB=BBB*(NN-MM-j+k)/(NN-j)
　　next
　　BBs=BBB*BBA
　　if lll-k>k then
　　x=K
　　Else x=lll-k
　　end if
　　for i=1 to x
　　BBS=BBS*(lll/i)
　　lll=lll-1
　　next
　　HYPGEOMDIST=HYPGEOMDIST+BBS
　　next
　　end function
　　response.write HYPGEOMDIST(200,2200,1000,17000)
　　%>