极限 发表评论(0) 编辑词条

　　在高等数学中，极限是一个重要的概念。
　　极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下。
　　首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，内接二十四边形的面积记为A3，如此将边数加倍，当n无限增大时，An无限接近于圆面积，他计算到3072=6*2的9次方边形，利用不等式An+1　

设{Xn}为一数列，如果存在常数a对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式
　　|Xn - a|<ε
　　都成立，那么就成常数a是数列{Xn}的极限，或称数列{Xn}收敛于a。记为lim Xn = a 或Xn→a（n→∞）

　　1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的；
　　2.改变数列的有限项，不改变数列的极限。

　　an=c 常数列 极限为c
　　an=1/n 极限为0
　　an=x^n 绝对值x小于1 极限为0

　　设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ ，使得当x满足不等式0<|x-x。|<δ 时，对应的函数值f(x)都满足不等式：
　　|f(x)-A|<ε
　　那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。

　　函数极限的通俗定义： 编辑本段回目录

　　1、设函数y=f(x)在(a,+∞)内有定义，如果当x→+∞时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称A为当x趋于+∞时函数f(x)的极限。记作lim f(x)＝A ，x→+∞。
　　2、设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义，当x无限趋近a时（记作x→a），函数值无限接近一个确定的常数A，则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限。记作lim f(x)=A ，x→a。

　　1：如果当x从点x=x0的左侧（即x〈x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作x→x0-limf(x)=a.
　　2:如果当x从点x=x0右侧（即x>x0)无限趋近于点x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作x→x0+limf(x)=a.
　　注：若一个函数在x（0）上的左右极限不同则此函数在x（0）上不存在极限
　　注：一个函数是否在x(0)处存在极限，与它在x=x(0)处是否有定义无关，只要求y=f(x)在x(0)近旁有定义即可。

　　lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)
　　lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)
　　lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)
　　lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x) ( limg(x)不等于0 )
　　lim(f(x))^n=(limf(x))^n
　　以上limf(x) limg(x)都存在时才成立
　　lim(1+1/x)^x =e
　　x→∞

　　一个数列（极限）无限趋近于0，它就是一个无穷小数列（极限）。
　　无穷大数列和无穷小数列成倒数。

　　1、lim sin(x)／x ＝1 ，x→0
　　2、lim （1 + 1／x）^x ＝e ，x→∞ （e≈2.7182818...，无理数）
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　　举两个例子说明一下
　　一、0.999999……＝1？
　　（以下一段不作证明，只助理解——原因：小数的加法的第一步就是对齐数位，即要知道具体哪一位加哪一位才可操作，下文中0.33333……的加法使用小数点与小数点对齐并不可以保证以上标准，所以对于无限小数并不能做加法。既然不可做加法，就无乘法可言了。）
　　谁都知道1/3＝0.333333……，而两边同时乘以3就得到1＝0.999999……，可就是看着别扭，因为左边是一个“有限”的数，右边是“无限”的数。
　　10×0.999999…… —1×0.999999……=9=9×0.999999……
　　∴0.999999……=1
　　二、“无理数”算是什么数？
　　我们知道，形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的，它的每一位都只有在不停计算之后才能确定，且无穷无尽，这种没完没了的数，大大违背人们的思维习惯。
　　结合上面的一些困难，人们迫切需要一种思想方法，来界定和研究这种“没完没了”的数，这就产生了数列极限的思想。
　　类似的根源还在物理中（实际上，从科学发展的历程来看，哲学才是真正的发展动力，但物理起到了无比推动作用），比如瞬时速度的问题。我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示，若时间差趋于零，则此比值就是某时刻的瞬时速度，这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值，就是0÷0，这有意义吗（这个意义是指“分析”意义，因为几何意义颇为直观，就是该点切线斜率）？这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释，极限的思想呼之欲出。
　　真正现代意义上的极限定义，一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的，他当时是一位中学数学教师，这对我们今天中学教师界而言，不能不说是意味深长的。