维恩图 发表评论(0) 编辑词条

　　维恩图：也叫文氏图，用于显示元素集合重叠区域的图示。

 

　　1880年，维恩（Venn）在《论命题和推理的图表化和机械化表现》一文中首次采用固定位置的交叉环形式再加上阴影来表示逻辑问题（如图1所示），这一表示方法，不仅让逻辑学家无比激动——以致于19世纪后期、整个20世纪直到今天，还有许许多多的逻辑学家都对此潜心钻研，在大量逻辑学著作中，Venn图占据着十分重要的位置，而且，维恩图还被应用于数学学科中，尤其是被应用于集合论当中。
[编辑本段]类似的图
　　Johnston图和欧拉图可能在外观上同文氏图是一致的。它们之间的任何区别都在它们的应用领域中，就是说在被分割的全集的类型中。Johnston图特别适用于命题逻辑的真值，而欧拉图展示对象的特定集合，文氏图的概念更一般的适用于可能的联系。文氏图和欧拉图没有合并的原因好像是欧拉的版本是早在100多年前就出现了的，欧拉已经有了足够多的成就了，而Venn只留下了这么一个图。
　　在欧拉图和文氏图之间的区别只是在想法上，欧拉图要展示特定集合之间的联系，而文氏图要包含所有可能的组合。下面是欧拉图的一个例子:
　　集合A、B和C
　　在这个例子中，一个集合完全在另一个集合内部。我们说集合A是在世界中能找到的所有的不同类型的奶酪，集合B是在世界中能找到的所有食物。从这个图中，你可以看出所有奶酪都是食物，但是不是所有食物都是奶酪。进一步的说，集合C(比如说金属造物)与集合B没有公共元素(集合的成员)，从此我们可以在逻辑上断言没有奶酪是金属造物(或者反过来说)。在形式上，上述的图可以在数学上解释为"集合A是集合B的真子集，而集合C和集合B没有公共元素"。
　　或解释为一个三段论

　　作了很多努力去把文氏图推广到多个集合。Venn使用椭圆达到了四个集合但从未满意他的五集合解法。在一个世纪之前找到了一种能满足Venn有关对称图的非正式标准的优雅的方法。在设计彩色玻璃窗的过程中缅怀Venn，A.W.F.Edwards提出了‘齿轮’方法:
　　三集合:image:Edwards-Venn-three.png
　　四集合:image:Edwards-Venn-four.png
　　五集合:image:Edwards-Venn-five.png
　　六集合:image:Edwards-Venn-six.png

 

　　维恩图既可以表示一个独立的集合，也可以表示集合与集合之间的相互关系．例如，集合A={0，1，3，5}，可以用图2来表示；集合A是集合B的真子集，可以用图3表示；集合A∪B可以表示成图4；集合A∩B可以表示成图5．
　　有了上述的表示方法，我们就可以利用维恩图来解决有关集合问题了．
　　例1（1994年全国高考试题）设全集U={0,1,2,3,4}，集合A={0,1,2,3}，集合B={2,3,4}，则U-AB=（）
　　A．B．{0,1}C．{0,1,4}D．{0,1,2,3,4}
　　分析与解：将已知条件用维恩图表示（如图7），由维恩图可知，A∧B={2,3}，所以U-AB={0,1,4}．故选C．
　　例2设全集U=N*}，若
　　，则（）
　　A．A={1,8}，B={2,6}B．A={1,3,5,8}，B={2,3,5,6}
　　C．A={1,8}，B={2,3,5,6}D．A={1,3,8}，B={2,5,6}
　　分析：本题可以利用维恩图来表示已知条件，从而直观地解决问题．
　　解：由U=N*}，得U={1,2,3,4,5,6,7,8}．由可知，元素1，8∈A，且1，8B，于是，可以在维恩图中标出这两个元素的位置（如图8所示）；由得，元素2，6∈B，且2，6A，同样地又可以在维恩图中标出元素2和6的位置；又由可知，元素4，7在全集U中、集合A，B之外(如图8)；所以，全集U中剩下的两个元素3，5∈A∩B，在维恩图中标出元素3和5．所以，由图8可知，A={1,3,5,8}，B={2,3,5,6}．故选B．
　　例3设全集为U，已知集合A={2，4，6，8，10}，={1，3，5，7，9}，={1，4，6，8，9}，求集合B．
　　分析：本题给出了集合A，和，需要由这三个条件确定集合B，于是，可以通过对已知条件的分析，并借助于维恩图来解决问题．
　　解：如图，因为A={2，4，6，8，10}，={1，4，6，8，9}，所以，元素1和9既不在集合A中，也不在集合B中，于是，元素1和9在全集U中、但在集合A，B之外，即1，9∈（如图9）；又因为3,5,7∈，但3，5，7，所以，元素3，5，7必属于集合B；因为2，10，但是2，10，所以，2，10，即2，10（如图9）．所以，集合B={2，3，5，7，10}．
　　从上面的几个例子我们不难发现：由于维恩图能够直观地表示集合以及集合于集合之间的关系，所以，利用维恩图可以帮助我们形象而又简捷地地解决问题．因此，同学们要逐步地形成利用维恩图解题的意识，提高自己解决问题的能力．

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