泛函分析 发表评论(0) 编辑词条

一、课程简介

泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的学科.

泛函分析是二十世纪三十年代从变分法、微分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学.泛函分析不断以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支；同时它也强有力地推动着其他分析学科的发展.它在概率论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要应用，它也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一.今天，它的观点和方法已经渗入到很多工程技术性的学科中，成为近代分析的基础之一.

1.泛函分析的产生

十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段.这就是，由于对欧几里得第五公设的研究，引出了非欧几何这门新的学科；对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论；对数学分析的研究又建立了集合论。这些新的理论都为用统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件.

本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽.随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究.到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念.

由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方.比如，代数方程求根和微分方程求解都可以应用逐次逼近法，并且解的存在和唯一性条件也极其相似.这种相似在积分方程论中表现得就更为突出了.泛函分析的产生正是和这种情况有关，有些乍看起来很不相干的东西，都存在着类似的地方.因此它启发人们从这些类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西.

非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。这样，就显示出了分析和几何之间的相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性.这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧氏空间扩充成无穷维数的空间.

这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系.现代数学的发展却是要求建立两个任意集合之间的某种对应关系.

这里我们先介绍一下算子的概念.算子也叫算符，在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子.

研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就产生了一门新的分析数学，叫做泛函分析.在二十世纪三十年代，泛函分析就已经成为数学中一门独立的学科了.



2.泛函分析的特点和内容

泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了.比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念.它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间.

泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具.n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统.比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子.一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统.现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统.

正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容.袭，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学.典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中.

泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。

半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展.在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一.天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一.

泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用.十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用.还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用.

二、基本目的和要求

通过系统地学习距离空间、 赋范线性空间、内积空间的空间理论基础以及完备的赋范线性空间,内积空间的有界线性算子理论基础等,使学生初步掌握有关空间和算子的一些理论和方法，掌握泛函分析的基本理论和应用，对现代数学的特点：高度的抽象性，体系的严谨性和应用的广泛性有所认识,受到基本的数学抽象思维能力的训练，以培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析和解决问题的能力,并通过系统的学习与严格的训练，使学生具备熟练的运算能力与技巧，并以《泛函分析》的教学为载体，使学生体现本课程以及数学课程的严格逻辑性，以更高的角度理解数学各个分支的理论体系，提高学生的数学修养.



三、教学内容与要求

1.泛函分析简介

课程名称：泛函分析英文名称：Functional Analysis

周学时：4-0学分：3

预修要求：数学分析、实变函数

2.内容介绍

《泛函分析》是数学专业学生在校期间掌握知识、培养能力、提高素质的最重要的课程之一，对后续课程的学习有直接的影响，对创新人才的培养具有举足轻重的作用.《泛函分析》的内容大致包括近代分析的主要内容:

1）．距离空间.包括距离空间的定义, 距离空间的完备性、可分性、列紧性、全有界性.

2）．线性赋范空间和内积空间.包括线性赋范空间的定义、Banach空间、有限维线性赋范空间、 内积空间与Hilbeit空间、内积空间中的Fourier级数、可分的Hilbeit空间的模型等.

3）．线性泛函与线性算子。包括线性有界泛函定义与例子、共轭空间、线性有界算子、逆算子定理、闭图象定理、共鸣定理.

《泛函分析》的教学方式是板书教学，包括习题课，必要时进行适当地课堂讨论，《泛函分析》课程的特点是：基本概念多且非常抽象，理论推证很多而且繁长，教学中极需展示数学思维的活动过程，不宜用多媒体教学.师要在教材处理和备课上狠下功夫，注重教学研究和教学方法，教师除讲清课程内容外，还经常穿插数学史、数学方法论和某些新成果以及同其他数学分支的联系，激发学生的学习热情和兴趣；课后，除布置适量的作业外，经常给学生布置一些不落俗套思考题、判断题、改错题等.