函数奇偶性 发表评论(0) 编辑词条

　　一般地，对于函数f(x)
　　（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)= -f(x 〕那么函数f(x)就叫做奇函数。
　　（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
　　（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=0，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
　　（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
　　说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言。
　　②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。
　　（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）
　　③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
　　④如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。

　　定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图形，偶函数的图像关于y轴或轴对称图形。
　　f(x)为奇函数 充分必要条件 f(x)的图像关于原点对称
　　点（x,y）→（-x,-y）
　　f(x)为偶函数 充分必要条件 f(x)的图像关于Y轴对称
　　点（x,y）→（-x,y）
　　奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
　　偶函数 在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减。

　　先判断函数定义域是否关于原点对称,若不对称则函数既不是奇函数也不是偶函数,然后再证明f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)